Результаты численного интегрирования тестовой задачи.
Кол-во
Разби-
Ений
n
| Методы
| Прямоугольников
|
трапеций
|
Симпсона
| левых
| Правых
| средних
|
| 2,000000
| 3,718282
| 2,648721
| 2,859141
| 2,718661
|
| 2,324361
| 3,183502
| 2,700513
| 2,753931
| 2,718319
|
| 2,512437
| 2,942007
| 2,713815
| 2,727222
| 2,718284
|
| 2,675683
| 2,761597
| 2,718103
| 2,718640
| 2,718282
|
| 2,675683
| 2,761597
| 2,718103
| 2,718640
| 2,718282
|
| 2,709705
| 2,726888
| 2,718275
| 2,718296
| 2,718282
|
| 2,716564
| 2,720001
| 2,718282
| 2,718282
| 2,718282
|
| 2,717723
| 2,719141
| 2,718282
| 2,718282
| 2,718282
|
| 2,718196
| 2,718368
| 2,718282
| 2,718282
| 2,718282
|
| 2,718273
| 2,718290
| 2,718282
| 2,718282
| 2,718282
|
Результаты расчета показывают, что при использовании методов левых и правых прямоугольников для обеспечения даже невысокой точности вычисления приходится проводить с очень мелким шагом, приводящим к значительному увеличению продолжительности счета. При этом незначительное усовершенствование методов и переход к формулам средних прямоугольников или трапеций в несколько раз снижает погрешность вычислений, причем преимущество усовершенствования возрастает с увеличением требуемой точности расчета. По этой причине методы левых и правых прямоугольников практически не используются.
Как и следовало ожидать, наиболее точным оказался метод Симпсона. Применение трехточечной формулы позволяет проводить вычисления с более широким шагом интегрирования. При заданной точности вычисления интеграла общее количество вычислений функции меньше, несмотря на то, что по методу Симпсона в зависимости то выбранной схемы на каждом шаге производится два или три обращения к функции по сравнению с однократным обращением в методах средних прямоугольников и трапеций.
Погрешность метода средних прямоугольников при вычислениях с постоянным шагом D x оценивается величиной
,
где - вторая производная функции f (x).
Погрешность метода трапеций приблизительно равна
.
В общем случае погрешность формулы средних прямоугольников примерно вдвое меньше, чем у формулы трапеций. Поэтому, если значения функции одинаково легко определяются в любых точках, то лучше вести расчет по более точной формуле средних прямоугольников. Метод трапеций употребляют в тех случаях, когда функция задана только в узлах сетки, а в середине интервала ее значения неизвестны.
Главные члены погрешностей у формул средних прямоугольников и трапеций имеют различные знаки, поэтому, если вести расчеты по обеим формулам, точное значение интеграла будет, как правило, находиться в вилке между ними. Используя это свойство, можно добиться повышения точности расчетов. Так как
, ,
то, применяя комбинированную формулу
,
сократим основные источники погрешностей. Подставляя в нее конкретные значения, получим формулу
,
соответствующую методу Симпсона, погрешность которого оценивается величиной
.
В методах средних прямоугольников и трапеций уменьшение шага интегрирования D x вдвое уменьшает погрешность оценки площади элементарного прямоугольника в 8 раз, однако, общее количество этих прямоугольников увеличивается в 2 раза, поэтому общая погрешность уменьшается приблизительно в 4 раза. Коэффициент уменьшения ошибки пропорционален величине второй производной и обычно не равен в точности 4, поскольку не является константой и сказывается также влияние членов более высокого порядка. Однако, при реальных вычислениях с функциями, имеющими непрерывные ограниченные вторые производные, можно ожидать, что удвоение числа элементарных отрезков для любой формулы – средних прямоугольников или трапеций – приблизительно учетверяет точность.
Если в методе Симпсона уменьшить шаг D x в два раза, то каждое
уменьшится в 32 раза, при этом общее количество элементарных фигур возрастет в 2 раза. Погрешность в целом уменьшится приблизительно в 16 раз.
При выборе количества разбиений n или величины шага D x заранее неизвестно, какова будет погрешность вычисления интеграла. Кроме того, точное значение интеграла также неизвестно и сравнить полученное значение с точным нельзя.
Для оценки точности вычисления сравнивают два последовательных приближения к результату. Сначала задают некоторое начальное n1, для которого вычисляют приближенное значение S1. Затем число участков удваивают, n1 =2 n1, соответственно длины участков сокращаются вдвое, . Далее вычисляют новую сумму площадей более узких фигур S2. Она точнее приближает искомое значение интеграла. Разность сравнивают с наперед заданным малым положительным числом e. При считают, что S2 можно принять за приближенное значение интеграла, полученное с заданной точностью e. В противном случае процесс деления отрезков повторяют, принимая n3=2n2, вычисляют S3 и сравнивают с e.
Для непрерывных функций условие должно наступить обязательно, если e>eмаш. Следует отметить, что выполнение условия в общем случае не означает, что погрешность вычисления интеграла меньше величины e. Здесь сравнивается окончательное значение Sk не с точным значением, а с вычисленным ранее при более крупном шаге интегрирования. Тем не менее, для многих функций такая оценка величины погрешности является достаточной.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|