Векторами и комплексными числами

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Расчет цепей переменного тока существенно упрощается, если синусоидально изменяющиеся токи, напряжения и ЭДС заменить их изображениями на комплексной плоскости. Комплексные изображения позволяют совместить простоту и наглядность векторных диаграмм с возможностью проведения точных аналитических расчетов.

Плоскость комплексных чисел изображают с помощью оси действительных чисел (+1) и оси мнимых чисел (+j). Вектор располагают относительно оси действительных чисел под углом ψ_a, равным начальной фазе синусоидальной функции. Положительные углы отсчитываются от оси (+1) против движения часовой стрелки, а отрицательные - по направлению движения. Длина вектора в выбранном масштабе равна её амплитудному значению (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Любому вектору , расположенному на комплексной плоскости, однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трех формах:

показательной - ;

тригонометрической - ;

алгебраической - ,

где - действительная часть комплексного числа;

- мнимая часть комплексного числа.

Для перехода от алгебраической формы записи к показательной модуль комплексного числа находят с помощью теоремы Пифагора (рис. 1.3), а аргумент – путем определения тангенса соответствующего угла:

; .

Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании комплексных величин, а показательная при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня.

Мнимая единица называется оператором поворота на угол π/2 = 90⁰.

Умножение на j = e ^jπ^/2 сводится к повороту вектора против хода часовой стрелки на 90⁰, а умножение на –j = e ^-^jπ^/2 – к повороту вектора по ходу часовой стрелки на 90⁰.

Комплексное действующее значение меньше комплексного амплитудного значения в раз: