Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана числовая последовательность х 1, х 2, …, хn, ….

Обозначение числовой последовательности { хn }.

При этом числа х 1, х 2, …, хn, … называются членами последовательности.

Основные способы задания числовых последовательностей

1. Одним из наиболее удобных способов является задание последовательности формулой её общего члена: хn = f (n), n Î N.

Например, хn = n 2 + 2 n + 3 Þ х 1 = 6, х 2 = 11, х 3 = 18, х 4 = 27, …

2. Непосредственным перечислением конечного числа первых членов.

Например, Þ

3. Рекуррентным соотношением, т.е. формулой, выражающей n-член через предшествующие один или несколько членов.

Например, рядом Фибоначчи называется последовательность чисел

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, которая определяется рекуррентно:

х 1 = 1, х 2 = 1, хn +1 = xn + xn –1 (n = 2, 3, 4, …).

Арифметические операции над последовательностями

1. Суммой (разностью) последовательностей { аn } и { bn } называется последовательность { cn } = { an ± bn }.

2. Произведением последовательностей { аn } и { bn } называется последовательность { cn } = { an × bn }.

3. Частным последовательностей { аn } и { bn }, bn ¹ 0, называется последовательность { cn } = { an ×/ bn }.

Свойства числовых последовательностями

1. Последовательность { хn } называется ограниченной сверху, если существует такое действительное число М, что для всех натуральных значений n справедливо неравенство хn £ M.

2. Последовательность { хn } называется ограниченной снизу, если существует такое действительное число m, что для всех натуральных значений n справедливо неравенство хn ³ m.

3. Последовательность { хn } называется возрастающей, если для всех натуральных значений n справедливо неравенство хn < хn +1.

4. Последовательность { хn } называется убывающей, если для всех натуральных значений n справедливо неравенство хn > хn +1.

5. Последовательность { хn } называется невозрастающей, если для всех натуральных значений n справедливо неравенство хn ³ хn +1.

6. Последовательность { хn } называется неубывающей, если для всех натуральных значений n справедливо неравенство хn £ хn +1.

Последовательности возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие называются монотонными последовательностями, при этом возрастающие и убывающие – строго монотонными.

Основные приёмы, применяемые при исследовании последовательности на монотонность

1. Использование определения.

а) Для исследуемой последовательности { хn } составляется разность

хnхn +1, и далее выясняется, сохраняет ли эта разность постоянный знак при любых n Î N, и если да, то какой именно. В зависимости от этого делается вывод о монотонности (немонотонности) последовательности.

б) Для знакопостоянных последовательностей { хn } можно составить отношение хn +1/ хn и сравнить его с единицей.

Если это отношение при всех n больше единицы, то для строго положительной последовательности делается вывод о её возрастании, а для строго отрицательной, соответственно, об убывании.

Если это отношение при всех n не меньше единицы, то для строго положительной последовательности делается вывод о её неубывании, а для строго отрицательной, соответственно, о невозрастании.

Если это отношение при некоторых номерах n больше единицы, а при других номерах n меньше единицы, то это говорит о немонотонном характере последовательности.

2. Переход к функции действительного аргумента.

Пусть необходимо исследовать на монотонность числовую последовательность

аn = f (n), n Î N.

Введём в рассмотрение функцию действительного аргумента х:

f (х) = а (х), х ³ 1,

и исследуем её на монотонность.

Если функция дифференцируема на рассматриваемом промежутке, то найдём её производную и исследуем знак.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

Возвращаясь к натуральным значениям аргумента, распространяем эти результаты на исходную последовательность.

 

Число а называется пределом последовательности хn, если для любого сколь угодно малого положительного числа e найдётся такое натуральное число N, что для всех номеров n > N выполнено неравенство | xna | < e.

а =

Вычисление суммы n первых членов последовательности

1. Представление общего члена последовательности в виде разности двух или нескольких выражений таким образом, чтобы при подстановке большая часть промежуточных слагаемых сократилась, и сумма существенно упростилась.

2. Для проверки и доказательства уже имеющихся формул нахождения сумм первых членов последовательностей может быть использован метод математической индукции.

3. Некоторые задачи с последовательностями удаётся свести к задачам на арифметические или геометрические прогрессии.

Арифметические и геометрические прогрессии

Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия
Определение Числовая последовательность { хn }, n Î N, называется арифметической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом d, т.е. аn +1 = an + d, где d – разность прогрессии, аn – общий член (n -й член) Определение Числовая последовательность { хn }, n Î N, называется геометрической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же постоянное для данной последовательности числом q, т.е. bn +1 = bn × q, b 1 ¹ 0, q ¹ 0, где q – знаменатель прогрессии, bn – общий член (n -й член)
Монотонность Если d > 0, то прогрессия возрастающая. Если d < 0, то прогрессия убывающая. Монотонность Если b 1 > 0, q > 1 или b 1 < 0, 0 < q < 1, то прогрессия возрастающая. Если b 1 < 0, q > 1 или b 1 > 0, 0 < q < 1, то прогрессия убывающая. Если q < 0, то прогрессия немонотонная
Формула общего члена аn = a 1 + d ×(n – 1) Если 1 £ k £ n – 1, то аn = ak + d ×(nk) Формула общего члена bn = b 1 × qn – 1 Если 1 £ k £ n – 1, то bn = bk × qn k
Характеристическое свойство Если 1 £ k £ n – 1, то Характеристическое свойство Если 1 £ k £ n – 1, то
Свойство an + am = ak + al, если n + m = k + l Свойство bn × bm = bk × bl, если n + m = k + l
Сумма первых n членов Sn = a 1 + a 2 + … + an или Сумма Sn = b 1 + b 2 + … + bn Если q ¹ 1, то . Если q = 1, то Sn = b 1× n. Если | q | < 1 и n ® ¥, то
Операции над прогрессиями 1. Если { аn } и { bn } арифметические прогрессии, то последовательность { an ± bn } тоже является арифметической прогрессией. 2. Если все члены арифметической прогрессии { аn } умножить на одно и то же действительное число k, то полученная последовательность тоже будет арифметической прогрессией, разность которой соответственно изменится в k раз Операции над прогрессиями Если { аn } и { bn } геометрические прогрессии со знаменателями q 1 и q 2 соответственно, то последовательность: 1) { an × bn } тоже является геометрической прогрессией со знаменателем q 1× q 2; 2) { an / bn } тоже является геометрической прогрессией со знаменателем q 1/ q 2; 3) {| an |} тоже является геометрической прогрессией со знаменателем | q 1|

 

Основные методы решения задач на прогрессии

1. Один из наиболее распространённых методов решения задач на арифметические прогрессии состоит в том, что все задействованные в условии задачи члены прогрессии выражаются через разность прогрессии d и какой-либо один его член, чаще всего первый a 1. Исходя из условий задачи, составляется и решается система с неизвестными d и а 1.

2. Широко распространён и считается стандартным метод решения задач на геометрические прогрессии, когда все фигурирующие в условии задачи члены геометрической прогрессии выражаются через знаменатель прогрессии q и какой-либо один его член, чаще всего первый b 1. Исходя из условий задачи, составляется и решается система с неизвестными q и b 1.

Образцы решения задач

Задача 1.

Задана последовательность хn = 4 n (n 2 + 1) – (6 n 2 + 1). Найти сумму Sn первых n членов этой последовательности.

Решение. Преобразуем выражение для общего члена последовательности:

хn = 4 n (n 2 + 1) – (6 n 2 + 1) = 4 n 3 + 4 n – 6 n 2 – 1 = n 4n 4 + 4 n 3 – 6 n 2 + 4 n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4 n 3 + 6 n 2 – 4 n + 1) = n 4 – (n – 1)4.

Sn = x 1 + x 2 + x 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

Задача 2.

Задана последовательность аn = 3 n + 2. Вычислить сумму .

Решение. Каждое слагаемое суммы S имеет вид

.

Отсюда, A (3 n + 5) + B (3 n + 2) = 1,

(3 A + 3 B) n + (5 A + 2 B) = 1.

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях n.

n 1 | 3 A + 3 B = 0,

n0 | 5 A + 2 B = 1.

Решая полученную систему, получим А = 1/3, В = –1/3.

Таким образом, , и

= =

= = .

Задача 3.

Последовательность задана рекуррентно а 1 = 2, аn +1 = аn. Является ли число 1980 членом этой последовательности? Если да, то определить его номер.

Решение. Выпишем первые n членов этой последовательности:

а 1 = 2, , , , ,…, , , .

Перемножим эти равенства:

а 1 а 2 а 3 а 4 а 5an -2 an -1 an = а 1 а 2 а 3 а 4 а 5an -2 an -1.

Отсюда, an = n (n + 1).

Тогда, 1980 = n (n + 1) Û n 2 + n – 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n = 44 Î N.

Ответ: да, n = 44.

Задача 4.

Найти сумму S = а 1 + а 2 + а 3 + … + аn чисел а 1, а 2, а 3, …, аn, которые при любом натуральном n удовлетворяют равенству Sn = а 1 + 2 а 2 + 3 а 3 + … + n = .

Решение. S 1 = a 1 = 2/3.

Для n > 1, nan = SnSn –1 = = .

Отсюда, = = ,

А (n + 1)(n + 2) + Bn (n + 2) + Cn (n + 1) = 1

(A + B + C) n 2 + (3 A + 2 B + C) n + 2 A = 1,

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях n.

n 2 | A + B + C = 0,

n 1 | 3 A + 2 B + C = 0,

n0 | 2 A = 1.

Решая полученную систему, получим А = 1/2, В = –1, C = 1/2.

Итак, = = = ,

где , , n > 1,

S ¢ = = = .

S ¢¢ = = = .

S = а 1 + а 2 + а 3 + … + аn = а 1 + =

= а 1 + = а 1 + = =

= .

Задача 5.

Найти наибольший член последовательности .

Решение. Положим bn =n 2 + 8 n –7 = 9 – (n – 4)2, .

Последовательность { bn } достигает своего максимума при n = 4, а последовательность { сn } – при n = 3. Кроме того, при 1 £ n £ 3 обе последовательности возрастают (b 1 < b 2 < b 3, c 1 < c 2 < c 3), а при n ³ 4 – убывают

(b 4 > b 5 > …, c 4 > c 5 > …). Поэтому своё наибольшее значение их сумма может достигать при n = 3 или при n = 4. Так как а 3 = 11 > а 4 = 10,5, то приходим к ответу:

= а 3.

Задача 6.

Вычислить сумму первых 100 членов последовательности { n /5 n }.

Решение. Воспользуемся следующим полезным приёмом.

. .

S = = = .

Отсюда, S = .

________________________________________________________________

Задания для самостоятельного решения

1. Даны числа х 1, х 2, …, х 1983, такие, что х 1 = х 2013 = 2013 и при n = 2, 3, …, 2012. Докажите, что все числа xn равны 2013.

2. Последовательность (хn) задана рекуррентно следующим образом: х 1 = 0 и хn +1 = 5 xn + для n = 1, 2, …. Докажите, что все члены последовательности, начиная со второго, являются натуральными числами.

3. Члены последовательности (an) определяются рекуррентным способом: и при n = 1, 2, …. Докажите, что последовательность (an) монотонна.

4. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, разность d которой положительна. Докажите, что в этом треугольнике есть два угла, меньшие 60о.

5. Найдите три различных натуральных числа, образующих арифметическую прогрессию и таких, что их произведение является полным квадратом.

6.Вычислите сумму .

7. Последовательность (an) задана формулой , где n Î N. Найти сумму первых 2013 членов последовательности.

8. Последовательность (an) задана формулой . Вычислить сумму S = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + …

9. Последовательность (an) задана формулой , где n Î N. Найти сумму первых 100 членов последовательности.

10. Целые числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию. Может ли последняя цифра в десятичной записи числа N = a 3 + b 3 + c 3 – 3 abc быть равной 0, а предпоследняя цифра при этом быть равной 2?

11. Найдите наименьший член последовательности (аn), где .

12. Докажите, что не существует строго возрастающей последовательности целых неотрицательных чисел а 1, а 2, а 3, …, для которой при любых n и m выполняется соотношение аmn = am + an.

13. Найдите , если числа xn определяются рекуррентными соотношениями и для n Î N.

14. Последовательности (an) и (bn) заданы рекуррентным способом: а 1= а >0, b 1= b >0, , для n ³ 1. Докажите, что при любом n выполняется неравенство .

15. Вычислите предел последовательности { an }, где { an } – дробная часть числа .

16. Числа an, bn определяются рекуррентными соотношениями a 1 = b 1 = 1 и an +1 = an + 3 bn, bn +1 = an + bn для натуральных n ³1. Докажите, что последовательность имеет предел. Найдите этот предел.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Расход на оплату труда (Роn) | Песни к празднику Последний звонок: учителю физкультуры


Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных