АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана числовая последовательность х ₁, х ₂, …, х_n, ….

Обозначение числовой последовательности { х_n }.

При этом числа х ₁, х ₂, …, х_n, … называются членами последовательности.

Основные способы задания числовых последовательностей

1. Одним из наиболее удобных способов является задание последовательности формулой её общего члена: х_n = f (n), n Î N.

Например, х_n = n ² + 2 n + 3 Þ х ₁ = 6, х ₂ = 11, х ₃ = 18, х ₄ = 27, …

2. Непосредственным перечислением конечного числа первых членов.

Например, Þ

3. Рекуррентным соотношением, т.е. формулой, выражающей n-член через предшествующие один или несколько членов.

Например, рядом Фибоначчи называется последовательность чисел

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, которая определяется рекуррентно:

х ₁ = 1, х ₂ = 1, х_{n +1} = x_n + x_{n –1} (n = 2, 3, 4, …).

Арифметические операции над последовательностями

1. Суммой (разностью) последовательностей { а_n } и { b_n } называется последовательность { c_n } = { a_n ± b_n }.

2. Произведением последовательностей { а_n } и { b_n } называется последовательность { c_n } = { a_n × b_n }.

3. Частным последовательностей { а_n } и { b_n }, b_n ¹ 0, называется последовательность { c_n } = { a_n ×/ b_n }.

Свойства числовых последовательностями

1. Последовательность { х_n } называется ограниченной сверху, если существует такое действительное число М, что для всех натуральных значений n справедливо неравенство х_n £ M.

2. Последовательность { х_n } называется ограниченной снизу, если существует такое действительное число m, что для всех натуральных значений n справедливо неравенство х_n ³ m.

3. Последовательность { х_n } называется возрастающей, если для всех натуральных значений n справедливо неравенство х_n < х_{n +1}.

4. Последовательность { х_n } называется убывающей, если для всех натуральных значений n справедливо неравенство х_n > х_{n +1}.

5. Последовательность { х_n } называется невозрастающей, если для всех натуральных значений n справедливо неравенство х_n ³ х_{n +1}.

6. Последовательность { х_n } называется неубывающей, если для всех натуральных значений n справедливо неравенство х_n £ х_{n +1}.

Последовательности возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие называются монотонными последовательностями, при этом возрастающие и убывающие – строго монотонными.

Основные приёмы, применяемые при исследовании последовательности на монотонность

1. Использование определения.

а) Для исследуемой последовательности { х_n } составляется разность

х_n – х_{n +1}, и далее выясняется, сохраняет ли эта разность постоянный знак при любых n Î N, и если да, то какой именно. В зависимости от этого делается вывод о монотонности (немонотонности) последовательности.

б) Для знакопостоянных последовательностей { х_n } можно составить отношение х_{n +1}/ х_n и сравнить его с единицей.

Если это отношение при всех n больше единицы, то для строго положительной последовательности делается вывод о её возрастании, а для строго отрицательной, соответственно, об убывании.

Если это отношение при всех n не меньше единицы, то для строго положительной последовательности делается вывод о её неубывании, а для строго отрицательной, соответственно, о невозрастании.

Если это отношение при некоторых номерах n больше единицы, а при других номерах n меньше единицы, то это говорит о немонотонном характере последовательности.

2. Переход к функции действительного аргумента.

Пусть необходимо исследовать на монотонность числовую последовательность

а_n = f (n), n Î N.

Введём в рассмотрение функцию действительного аргумента х:

f (х) = а (х), х ³ 1,

и исследуем её на монотонность.

Если функция дифференцируема на рассматриваемом промежутке, то найдём её производную и исследуем знак.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

Возвращаясь к натуральным значениям аргумента, распространяем эти результаты на исходную последовательность.

Число а называется пределом последовательности х_n, если для любого сколь угодно малого положительного числа e найдётся такое натуральное число N, что для всех номеров n > N выполнено неравенство | x_n – a | < e.

а =

Вычисление суммы n первых членов последовательности

1. Представление общего члена последовательности в виде разности двух или нескольких выражений таким образом, чтобы при подстановке большая часть промежуточных слагаемых сократилась, и сумма существенно упростилась.

2. Для проверки и доказательства уже имеющихся формул нахождения сумм первых членов последовательностей может быть использован метод математической индукции.

3. Некоторые задачи с последовательностями удаётся свести к задачам на арифметические или геометрические прогрессии.

Арифметические и геометрические прогрессии

Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Определение Числовая последовательность { хn }, n Î N, называется арифметической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом d, т.е. аn +1 = an + d, где d – разность прогрессии, аn – общий член (n -й член)	Определение Числовая последовательность { хn }, n Î N, называется геометрической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же постоянное для данной последовательности числом q, т.е. bn +1 = bn × q, b 1 ¹ 0, q ¹ 0, где q – знаменатель прогрессии, bn – общий член (n -й член)
Монотонность Если d > 0, то прогрессия возрастающая. Если d < 0, то прогрессия убывающая.	Монотонность Если b 1 > 0, q > 1 или b 1 < 0, 0 < q < 1, то прогрессия возрастающая. Если b 1 < 0, q > 1 или b 1 > 0, 0 < q < 1, то прогрессия убывающая. Если q < 0, то прогрессия немонотонная
Формула общего члена аn = a 1 + d ×(n – 1) Если 1 £ k £ n – 1, то аn = ak + d ×(n – k)	Формула общего члена bn = b 1 × qn – 1 Если 1 £ k £ n – 1, то bn = bk × qn – k
Характеристическое свойство Если 1 £ k £ n – 1, то	Характеристическое свойство Если 1 £ k £ n – 1, то
Свойство an + am = ak + al, если n + m = k + l	Свойство bn × bm = bk × bl, если n + m = k + l
Сумма первых n членов Sn = a 1 + a 2 + … + an или	Сумма Sn = b 1 + b 2 + … + bn Если q ¹ 1, то . Если q = 1, то Sn = b 1× n. Если | q | < 1 и n ® ¥, то
Операции над прогрессиями 1. Если { аn } и { bn } арифметические прогрессии, то последовательность { an ± bn } тоже является арифметической прогрессией. 2. Если все члены арифметической прогрессии { аn } умножить на одно и то же действительное число k, то полученная последовательность тоже будет арифметической прогрессией, разность которой соответственно изменится в k раз	Операции над прогрессиями Если { аn } и { bn } геометрические прогрессии со знаменателями q 1 и q 2 соответственно, то последовательность: 1) { an × bn } тоже является геометрической прогрессией со знаменателем q 1× q 2; 2) { an / bn } тоже является геометрической прогрессией со знаменателем q 1/ q 2; 3) {| an |} тоже является геометрической прогрессией со знаменателем | q 1|

Основные методы решения задач на прогрессии

1. Один из наиболее распространённых методов решения задач на арифметические прогрессии состоит в том, что все задействованные в условии задачи члены прогрессии выражаются через разность прогрессии d и какой-либо один его член, чаще всего первый a ₁. Исходя из условий задачи, составляется и решается система с неизвестными d и а ₁.

2. Широко распространён и считается стандартным метод решения задач на геометрические прогрессии, когда все фигурирующие в условии задачи члены геометрической прогрессии выражаются через знаменатель прогрессии q и какой-либо один его член, чаще всего первый b ₁. Исходя из условий задачи, составляется и решается система с неизвестными q и b ₁.

Образцы решения задач

Задача 1.

Задана последовательность х_n = 4 n (n ² + 1) – (6 n ² + 1). Найти сумму S_n первых n членов этой последовательности.

Решение. Преобразуем выражение для общего члена последовательности:

х_n = 4 n (n ² + 1) – (6 n ² + 1) = 4 n ³ + 4 n – 6 n ² – 1 = n ⁴ – n ⁴ + 4 n ³ – 6 n ² + 4 n – 1 =

= n ⁴ – (n ⁴ – 4 n ³ + 6 n ² – 4 n + 1) = n ⁴ – (n – 1)⁴.

S_n = x ₁ + x ₂ + x ₃ + … + x_n = (1⁴ – 0⁴) + (2⁴ – 1⁴) + (3⁴ – 2⁴) + … + (n ⁴ – (n – 1)⁴) = n ⁴.

Задача 2.

Задана последовательность а_n = 3 n + 2. Вычислить сумму .

Решение. Каждое слагаемое суммы S имеет вид

.

Отсюда, A (3 n + 5) + B (3 n + 2) = 1,

(3 A + 3 B) n + (5 A + 2 B) = 1.

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях n.

n ¹ | 3 A + 3 B = 0,

n⁰ | 5 A + 2 B = 1.

Решая полученную систему, получим А = 1/3, В = –1/3.

Таким образом, , и

= =

= = .

Задача 3.

Последовательность задана рекуррентно а ₁ = 2, а_{n +1} = а_n. Является ли число 1980 членом этой последовательности? Если да, то определить его номер.

Решение. Выпишем первые n членов этой последовательности:

а ₁ = 2, , , , ,…, , , .

Перемножим эти равенства:

а ₁ а ₂ а ₃ а ₄ а ₅… a_{n -2} a_{n -1} a_n = а ₁ а ₂ а ₃ а ₄ а ₅… a_{n -2} a_{n -1}.

Отсюда, a_n = n (n + 1).

Тогда, 1980 = n (n + 1) Û n ² + n – 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n = 44 Î N.

Ответ: да, n = 44.

Задача 4.

Найти сумму S = а ₁ + а ₂ + а ₃ + … + а_n чисел а ₁, а ₂, а ₃, …, а_n, которые при любом натуральном n удовлетворяют равенству S_n = а ₁ + 2 а ₂ + 3 а ₃ + … + nа_n = .

Решение. S ₁ = a ₁ = 2/3.

Для n > 1, na_n = S_n – S_{n –1} = – = .

Отсюда, = = ,

А (n + 1)(n + 2) + Bn (n + 2) + Cn (n + 1) = 1

(A + B + C) n ² + (3 A + 2 B + C) n + 2 A = 1,

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях n.

n ² | A + B + C = 0,

n ¹ | 3 A + 2 B + C = 0,

n⁰ | 2 A = 1.

Решая полученную систему, получим А = 1/2, В = –1, C = 1/2.

Итак, = = = ,

где , , n > 1,

S ¢ = = = .

S ¢¢ = = = .

S = а ₁ + а ₂ + а ₃ + … + а_n = а ₁ + =

= а ₁ + = а ₁ + = =

= .

Задача 5.

Найти наибольший член последовательности .

Решение. Положим b_n = – n ² + 8 n –7 = 9 – (n – 4)², .

Последовательность { b_n } достигает своего максимума при n = 4, а последовательность { с_n } – при n = 3. Кроме того, при 1 £ n £ 3 обе последовательности возрастают (b ₁ < b ₂ < b ₃, c ₁ < c ₂ < c ₃), а при n ³ 4 – убывают

(b ₄ > b ₅ > …, c ₄ > c ₅ > …). Поэтому своё наибольшее значение их сумма может достигать при n = 3 или при n = 4. Так как а ₃ = 11 > а ₄ = 10,5, то приходим к ответу:

= а ₃.

Задача 6.

Вычислить сумму первых 100 членов последовательности { n /5 ⁿ }.

Решение. Воспользуемся следующим полезным приёмом.

. .

S – = = = .

Отсюда, S = .

________________________________________________________________

Задания для самостоятельного решения

1. Даны числа х ₁, х ₂, …, х ₁₉₈₃, такие, что х ₁ = х ₂₀₁₃ = 2013 и при n = 2, 3, …, 2012. Докажите, что все числа x_n равны 2013.

2. Последовательность (х_n) задана рекуррентно следующим образом: х ₁ = 0 и х_{n +1} = 5 x_n + для n = 1, 2, …. Докажите, что все члены последовательности, начиная со второго, являются натуральными числами.

3. Члены последовательности (a_n) определяются рекуррентным способом: и при n = 1, 2, …. Докажите, что последовательность (a_n) монотонна.

4. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, разность d которой положительна. Докажите, что в этом треугольнике есть два угла, меньшие 60^о.

5. Найдите три различных натуральных числа, образующих арифметическую прогрессию и таких, что их произведение является полным квадратом.

6.Вычислите сумму .

7. Последовательность (a_n) задана формулой , где n Î N. Найти сумму первых 2013 членов последовательности.

8. Последовательность (a_n) задана формулой . Вычислить сумму S = a ₁ + a ₂ + a ₃ + a ₄ + a ₅ + …

9. Последовательность (a_n) задана формулой , где n Î N. Найти сумму первых 100 членов последовательности.

10. Целые числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию. Может ли последняя цифра в десятичной записи числа N = a ³ + b ³ + c ³ – 3 abc быть равной 0, а предпоследняя цифра при этом быть равной 2?

11. Найдите наименьший член последовательности (а_n), где .

12. Докажите, что не существует строго возрастающей последовательности целых неотрицательных чисел а ₁, а ₂, а ₃, …, для которой при любых n и m выполняется соотношение а_mn = a_m + a_n.

13. Найдите , если числа x_n определяются рекуррентными соотношениями и для n Î N.

14. Последовательности (a_n) и (b_n) заданы рекуррентным способом: а ₁= а >0, b ₁= b >0, , для n ³ 1. Докажите, что при любом n выполняется неравенство .

15. Вычислите предел последовательности { a_n }, где { a_n } – дробная часть числа .

16. Числа a_n, b_n определяются рекуррентными соотношениями a ₁ = b ₁ = 1 и a_{n +1} = a_n + 3 b_n, b_{n +1} = a_n + b_n для натуральных n ³1. Докажите, что последовательность имеет предел. Найдите этот предел.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: