Форматирование текста. 2.1. Внутренние усилия при растяжении и сжатии

Глава 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ

В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЯ

2.1. Внутренние усилия при растяжении и сжатии

При построении эпюры N положительные ординаты откладывают сверху от горизонтальной и справа от вертикальной оси эпюры, а отрицательные – снизу от горизонтальной и слева от вертикальной оси. Правила проверки правильности построения эпюры N: скачок на графике N соответствует сечению, где приложена сосредоточенная сила, и равен величине этой силы. На участке, где действует распределенная нагрузка, эпюра наклонена к оси. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра параллельна оси (рис. 2.2).

Пример 2.1. Построить эпюру внутренних усилий для стержня, нагруженного внешними продольными силами (рис. 2.3).

Решение. Для определения продольной силы используем метод сечений. Заданный стержень имеет три участка. Рассматриваем последовательно каждый участок. Мысленно рассекаем стержень на две части произвольным сечением. Продольная сила в проведенном сечении компенсирует все внешние продольные силы, действующие на отсеченную часть. Заданный стержень консольный, поэтому расчет удобнее вести со свободного конца. Следовательно, рассматривают силы, действующие на левую отсеченную часть. Тогда N_I компенсирует действие силы F, N_II – действие силы F и равномерно распределенной нагрузки, N_III – действие силы F, равномерно распределенной нагрузки и силы 2F. Составим уравнения равновесия для каждого участка. При этом руководствуемся правилом знаков: со знаком «+» в уравнение войдет внешняя нагрузка, которая стремится растягивать отсеченную часть при мысленном закреплении ее в рассматриваемом сечении.

I участок: 0 ≤ z₁ ≤ a, N_I= F, продольная сила в пределахI участка постоянна.

II участок:a ≤ z₂ ≤ 3a, N_II= F – q(z₂ – a), где (z₂ – a) длина действия распределенной нагрузки, продольная сила в пределах II участка линейно зависит от z, определим ее величину по границам участка: при z₂ = a, N_II = F при z₂ = 3a, N_II = –F.

III участок: 3a ≤ z₃ ≤ 4a, N_III = F – q2a – 2F = F, где длина действия распределенной нагрузки 2a. Продольная сила в пределах III участка постоянна.

По вычисленным данным строим эпюру продольной силы (рис. 2.3).

Исследуем полученный график. Скачки на графике Nсоответствуют сечению, где приложены сосредоточенные силы, и равны величине этих сил. На участке, где действует распределенная нагрузка, эпюра наклонена к оси. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра параллельна оси.

- пример 2.2. Построить эпюру внутренних усилий для стержня, нагруженного внешними продольными силами (рис. 2.4);

- решение. Стержень имеет три участка. Мысленно рассекаем стержень в пределах каждого участка, закрепляем правую отсеченную часть в рассматриваемом сечении, собираем нагрузку, действующую на нее, хотя в данном случае можно вести расчет как справа, так и слева. Предлагаем сту-денту проверить свои знания и произвести вычисления слева;

- 1участок: 0 ≤ z₁ ≤ a, N_I= –qz₁.Определяем силу по границам участка: при z₁ = 0, N_I= 0; при z₁= a, N_I= –qa = –F;

- 2участок: a ≤ z₂ ≤ 2a, N_II = –qa – 2F = –3F;

- 3участок: 2a ≤ z₂ ≤ 3a, N_II = –qa – 2F + F = –2F;

- по вычисленным данным строим эпюру продольной силы (рис. 2.4);

- установим зависимость между продольной силой и произвольно распределенной нагрузкой, интенсивность которой q(z) (рис. 2.5);

- для этого рассмотрим бесконечно малый элемент dzи составим условие его равновесия. Действие отброшенных частей стержня заменяют продольные силы: N и N + dN, здесь dN – приращение продольной силы на элементе dz, распределенную нагрузку q(z) ввиду малости элемента dz можно считать равномерной.

ΣZ_i= 0, (N+dN) –N – q(z)dz= 0 или .

Эта зависимость используется при проверке правильности построения эпюры продольной силы. Напри-мер, в примере 2.2 (рис. 2.4) на I участке стержняdN / dz = d(–qz)/dz = –q = –F/a, т.к. по условию задачиq = P/a. Эта величина говорит о том, что на первом участке действует распределенная нагрузка с интенсивностью q и показывает тангенс угла наклона эпюры к ее оси. Действительно, по эпюре видно, что он равен tga = F/a. На II и III участках dN/dz = 0, т.е. распределенная нагрузка отсутствует и эпюра параллельна оси.

2.2. Внутренние усилия при кручении

Стержень, находящийся под нагрузкой в виде моментов, которые действуют в плоскостях, перпендикулярных его продольной оси, испытывает кручение. При таком виде деформации в поперечных сечениях стержня возникает только одно внутреннее усилие – крутящий момент M_z.Такие стержни называют валами.

Крутящий момент M_z в рассматриваемом сечении численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих с одной стороны от сечения.

Это правило знаков не имеет физического смысла, но необходимо при определении момента. При построении эпюры M_z положительные значения ординат откладывают сверху от оси эпюры, а отрицательные – снизу. Скачок на графике M_z соответствует сечению, где приложен сосредоточенный момент и равен величине этого момента. На участке, где действует распределенная моментная нагрузка, эпюра наклонена к оси. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра параллельна оси (рис. 2.7).

Установим дифференциальную зависимость между крутящим моментом M_z и моментной нагрузкой, распре-деленной по произвольному закону, с интенсивностью m(z). По аналогии, как это было сделано при растяжении, выделим бесконечно малый элемент на стержне с произвольной скручивающей нагрузкой и рассмотрим его равновесие (рис. 2.8). Действие отброшенных частей стержня заменим внутренними усилиями: M_z и M_z+ dM_z, здесь dM_z – приращение крутящего момента на элементе dz.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: