ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Графическое решение задачи.Задачи оптимизации.
Под оптимизацией понимается целенаправленная деятельность для достижения наилучших результатов в заданных условиях. Для постановки задачи оптимизации необходимо следующее: · выбрать объект оптимизации; · сформулировать цель оптимизации (математическим выражением цели оптимизации является целевая функция); · сформулировать внешние (граничные) условия задачи; Сложность решения задачи оптимизации зависит от вида целевой функции, которая может быть: линейной, нелинейной, детерминированной, вероятностной, с одним или несколькими параметрами и т.д.
Задачи оптимизации с несколькими параметрами Наибольший практический интерес представляют задачи оптимизации с несколькими параметрами, среди которых в первую очередь можно рассмотреть линейные задачи.
Постановка задачи Целевая функция линейной задачи оптимизации с несколькими параметрами записывается следующим образом: Система ограничений при этом имеет вид алгебраической системы из m линейных уравнений (неравенств) с n неизвестными:
где x1, x2, x3…xn, - неизвестные параметры системы, c1, c2, c3…cn, - масштабные множители для целевой функции, - масштабные множители в системе ограничений, меры ограничений по условию задачи.
Требуется найти решение системы (2) x1, x2, x3…xn, удовлетворяющее заданным ограничениям, при котором функция W принимает max (min) значение. Возможны следующие варианты системы (2): · m = n. Это наиболее простой случай, система решается алгебраически и имеет единственное решение; · m > n. Система имеет бесконечное множество решений, одно из которых – оптимальное. Решается либо аналитическим путем с помощью специальных методов, либо графическим методом. Второй метод – более наглядный, но пригоден лишь для (n -число переменных задачи); · m < n. Система решения не имеет. Графическое решение задачи. 1) Рассмотрим систему неравенств:
Для удобства запишем ее в следующем виде:
Графическое решение этой системы показано на рис.1. Решением этой системы являются координаты всех точек, принадлежащих области допустимых решений (ОДР), т.е. многоугольнику ABCDO. Рис.1. W =x1+x2→max, (5) Задаем произвольное значение для W: W =x1+x2 =1, (6) и строим эту линию пунктиром (см.Рис.1). Поскольку требуется найти оптимальное решение, при котором целевая функция W = x1+x2→max, будем перемещать линию W параллельно самой себе в направлении стрелки до тех пор, пока она не расположится выше многоугольника ABCDO и не будет иметь с ним минимального числа общих точек. Очевидно, что оптимальным решением будут координаты точки С, равные: При решении задачи минимизации линия W должна располагаться ниже области допустимых решений.
Пример 1 Фирма производит два типа изделий. Стоимость каждого изделия, время его изготовления, продолжительность рабочего времени и общее количество выпускаемых изделий указаны в таблице 1.
Таблица 1
Требуется определить: какое количество изделий каждого типа нужно производить, чтобы их суммарная стоимость была максимальной.
1. Аналитическое решение: В данном случае число ограничений равно числу неизвестных (m = n). Целевая функция задачи будет иметь вид: Система ограничений:
Из решения системы находим значения
Подставляя их в
2. Графическое решение: Рис.2.
Как видно из Рис.2, координаты точки пересечения линии W с ОДР будут также равны:
Пример 2 Фабрика выпускает два вида продукции. Ее производство ограничено наличием необходимых ресурсов: A, B, C. Нормы затрат ресурсов на единицу продукции, запасы ресурсов и прибыль от реализации единицы продукции приведены в табл. 2. Требуется составить план выпуска продукции, который обеспечивал бы наибольшую прибыль. Таблица 2
Прибыль от реализации всей продукции (целевая функция) составит: Система ограничений:
Графическое решение задачи приведено на Рис.3, из которого следует, что:
Рис.3.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|