ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
по теме 2 "ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ" 2.1.1. Построить на плоскости x O y область D, ограниченную заданными линиями , , и вычислить площадь этой области с помощью двойного интеграла. Решение. Изобразим область D на чертеже: Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле: Заметим, что Таким образом: ед. кв. Ответ: 1,25 ед. кв. 2.2.1. Вычислить с помощью перехода к полярным координатам двойной интеграл по указанной области D: D -круг . Решение. Перейдем к полярным координатам: В полярных координатах круг имеет уравнение . Преобразуем подынтегральное выражение: Следовательно,
Ответ: 2.3.1. Вычислить данный тройной интеграл , предварительно построив область интегрирования R: x =0, x =1, y =0, y =2, z =0, z =3. Решение. Построим область интегрирования R Для данной области R получаем Ответ: 54. 2.4.1. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела R, ограниченного заданными поверхностями: x + y + z =6, x =0, y =0, z =0, x +2 y =4. Сделать чертеж данного тела R. Решение. Изобразим тело R. Оно ограничено с боков координатными плоскостями x =0, y =0 и плоскостью x +2 y =4, снизу плоскостью z =0, сверху – плоскостью x + y + z =6. Проекцией области R на плоскость хоу является прямоугольный треугольник, определяемый системой неравенств Тогда ед. куб. Ответ: 16 ед. куб. 2.5.1. Вычислить координаты центра тяжести однородного тела R, ограниченного указанными поверхностями: z =1- x 2- y 2, z =0. Принять плотность r =1. Сделать чертеж. Решение. Построим тело, ограниченное параболоидом z =1- x 2- y 2 и плоскостью z =0. Так как тело R однородное и симметричное относительно оси Oz, то можно сразу записать, что и . Найдем Полагая r =1, получаем Проекция тела R на плоскость xOу представляет собой круг, ограниченный окружностью поэтому вычисления проводим в цилиндрических координатах: Отсюда Центр тяжести имеет координаты С(0, 0, ). Ответ: С(0, 0, ). 2.6.1. Вычислить данный криволинейный интеграл первого рода , гдеГ – часть окружности Решение. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования Г. Если кривая Г задана параметрическими уравнениями , a £ t £ b, то , и тогда Преобразуя криволинейный интеграл к определенному, получаем: Ответ: 2.7.1. Вычислить данный криволинейный интеграл второго рода где AB – четверть окружности А при t = 0, B при Решение. Если плоская кривая Г задана параметрическими уравнениями a £ t £ b, причем установленное по кривой Г движение от А к В соответствует изменению переменной t от a до b, то Поэтому Ответ: 0. Контрольная работа по теме 4 "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ" 4.1.1. По самолету производится два выстрела, вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,5, при двух – с вероятностью 0,9. Какова вероятность, что самолет будет сбит? Решение. Событие А – самолет сбит. Введем гипотезы: было получено одно попадание в самолет; было получено два попадания в самолет; самолет сбит третьей зениткой. Вероятности гипотез равны соответственно
Условные вероятности события А известны из условия задачи
Тогда по формуле полной вероятности получаем: Ответ: 0,84. 4.2.1. Электрические цепи между точками М и N составлены по схемам, изображенным на рисунках, и состоят из нескольких узлов, в каждом из которых ni элементов. Выход из строя одного элемента означает выход из строя всего узла. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Прибор может случайным образом работать в одном из двух режимов: благоприятном и неблагоприятном. В благоприятном режиме надежность, т.е. вероятность безотказной работы за время Т, каждого из элементов одна и та же и равна 0,8, в неблагоприятном – 0,3. Вероятность того, что цепь находится в благоприятном режиме равна 0,8. Определить полную (среднюю) надежность электрической цепи при указанном на схеме количестве элементов в узлах. Решение. Будем считать, что ni – это числа, стоящие в прямоугольниках. Введем событие А – электрическая цепь работает надежно. Гипотезы: прибор работает в благоприятном режиме; прибор работает в неблагоприятном режиме; Вероятности гипотез равны соответственно
Обозначим через событие, состоящее в работе без отказа k -го узла, k = 1,2,3,4,5,6. Учитывая количество входящих в узлы элементов, а также строение цепи, получаем следующую формулу, описывающую безотказную работу цепи Тогда Учитывая, что вероятность безотказной работы за время Т, каждого из элементов одна и та же, обозначим ее через р. Имеем Тогда условные вероятности события А равны: По формуле полной вероятности получаем: Ответ: средняя надежность 0,6525. 4.3.1. Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более трех изделий. Решение. n= 1000, p= 0,002. Применим формулу Пуассона:
По условию имеем: Искомая вероятность Ответ: 0,8571. 4.4.1. Закон распределения дискретной случайной величины X задан следующей таблицей:
Найти М (Х), s(Х) и Р (Х >2). Решение. Математическое ожидание: Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение Искомая вероятность равна: 4.5.1. Случайная величина Х имеет плотность . Найти коэффициент А, функцию распределения F (х), вероятность неравенств –1< X <1, M (X). Решение. Пользуясь свойством нормировки дифференциальной функции распределения, найдем значение параметра А:
Следовательно, По определению . Находим: Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале равна Находим Математическое ожидание непрерывной случайной величины, которая имеет четную функцию плотности распределения вероятностей, равно нулю: 4.6.1. Вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна 0,8. Произведено 900 испытаний. Какова вероятность того, что отклонение относительной частоты появления события от вероятности 0,8 по абсолютной величине не превзойдет 0,05? Решение. По условию: , Для решения воспользуемся формулой: Находим: Ответ: 0,9998. 4.7.1. Проверить независимость дискретного случайного вектора, заданного таблицей вероятностей.
Решение. Построим ряды распределения Х и Y.
Проверим теперь выполнение условия для всех пар индексов i = 1, 2, j = 1, 2, 3. Очевидно, что это условие выполнено для любых i и j. Значит, компоненты X и Y независимы. Ответ: компоненты X и Y независимы. Контрольная работа по теме 5 "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА" 5.1.1. Построить гистограмму частот по данным выборки. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. В качестве вариант взять середины интервалов.
Решение. Гистограмма частот служит для представления интервальных статистических рядов и имеет вид ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников с основаниями, равными длине h =3 интервалов, и высотами, равными отношению /h − плотности частоты. Объем выборки Найдем середины интервалов :
Выборочная средняя Выборочная дисперсия Исправленное среднее квадратическое отклонение 5.2.1. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием М (Х) и дисперсией D (X). По выборке (х 1, х 2,…, хn) объема n = 31 вычислены оценки и неизвестных параметров. Найти доверительный интервал для математического ожидания М (Х), отвечающий доверительной вероятности g = 0,8. Решение. Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью определяют по формуле: Из соотношения Ф (t) = γ /2 вычисляют значение функции Лапласа: Ф (t) = 0,4. По таблице значений функции Лапласа находят t = 1,28. Таким образом, Ответ: 5.3.1. Применяя метод наименьших квадратов, определить параметры корреляционной зависимости y = a + bx + cx 2 по данным наблюдений, представленных в таблице.
Решение. В соответствии с требованиями метода наименьших квадратов для определения параметров а, b и с необходимо решить следующую систему уравнений: Составим расчетную таблицу:
Получаем следующую систему уравнений: Решая ее с помощью пакета программ Excel, находим: Следовательно, корреляционная зависимость имеет вид: Ответ: 5.4.1. Найти выборочный коэффициент линейной корреляции по таблице.
Решение. Рассчитаем выборочный коэффициент линейной корреляции: Для этого составим расчетную таблицу:
Получаем: Ответ: 0,716.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|