по теме 2 "ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ"

2.1.1. Построить на плоскости x O y область D, ограниченную заданными линиями , , и вычислить площадь этой области с помощью двойного интеграла.

Решение. Изобразим область D на чертеже:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Заметим, что

Таким образом:

ед. кв.

Ответ: 1,25 ед. кв.

2.2.1. Вычислить с помощью перехода к полярным координатам двойной интеграл по указанной области D: D -круг .

Решение. Перейдем к полярным координатам:

В полярных координатах круг имеет уравнение .

Преобразуем подынтегральное выражение:

Следовательно,

Ответ:

2.3.1. Вычислить данный тройной интеграл , предварительно построив область интегрирования R: x =0, x =1, y =0, y =2, z =0, z =3.

Решение. Построим область интегрирования R

Для данной области R получаем

Ответ: 54.

2.4.1. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела R, ограниченного заданными поверхностями: x + y + z =6, x =0, y =0, z =0, x +2 y =4. Сделать чертеж данного тела R.

Решение. Изобразим тело R. Оно ограничено с боков координатными плоскостями x =0, y =0 и плоскостью x +2 y =4, снизу плоскостью z =0, сверху – плоскостью x + y + z =6.

Проекцией области R на плоскость хоу является прямоугольный треугольник, определяемый системой неравенств

Тогда

ед. куб.

Ответ: 16 ед. куб.

2.5.1. Вычислить координаты центра тяжести однородного тела R, ограниченного указанными поверхностями: z =1- x ²- y ², z =0. Принять плотность r =1. Сделать чертеж.

Решение. Построим тело, ограниченное параболоидом z =1- x ²- y ² и плоскостью z =0.

Так как тело R однородное и симметричное относительно оси Oz, то можно сразу записать, что и .

Найдем

Полагая r =1, получаем

Проекция тела R на плоскость xOу представляет собой круг, ограниченный окружностью поэтому вычисления проводим в цилиндрических координатах:

Отсюда

Центр тяжести имеет координаты С(0, 0, ).

Ответ: С(0, 0, ).

2.6.1. Вычислить данный криволинейный интеграл первого рода , гдеГ – часть окружности

Решение. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования Г.

Если кривая Г задана параметрическими уравнениями , a £ t £ b, то , и тогда

Преобразуя криволинейный интеграл к определенному, получаем:

Ответ:

2.7.1. Вычислить данный криволинейный интеграл второго рода

где AB – четверть окружности А при t = 0, B при

Решение. Если плоская кривая Г задана параметрическими уравнениями

a £ t £ b,

причем установленное по кривой Г движение от А к В соответствует изменению переменной t от a до b, то

Поэтому

Ответ: 0.

Контрольная работа

по теме 4 "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ"

4.1.1. По самолету производится два выстрела, вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,5, при двух – с вероятностью 0,9. Какова вероятность, что самолет будет сбит?

Решение. Событие А – самолет сбит.

Введем гипотезы:

было получено одно попадание в самолет;

было получено два попадания в самолет;

самолет сбит третьей зениткой.

Вероятности гипотез равны соответственно

Условные вероятности события А известны из условия задачи

Тогда по формуле полной вероятности получаем:

Ответ: 0,84.

4.2.1. Электрические цепи между точками М и N составлены по схемам, изображенным на рисунках, и состоят из нескольких узлов, в каждом из которых n_i элементов. Выход из строя одного элемента означает выход из строя всего узла. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Прибор может случайным образом работать в одном из двух режимов: благоприятном и неблагоприятном. В благоприятном режиме надежность, т.е. вероятность безотказной работы за время Т, каждого из элементов одна и та же и равна 0,8, в неблагоприятном – 0,3. Вероятность того, что цепь находится в благоприятном режиме равна 0,8. Определить полную (среднюю) надежность электрической цепи при указанном на схеме количестве элементов в узлах.

Решение. Будем считать, что n_i – это числа, стоящие в прямоугольниках.

Введем событие А – электрическая цепь работает надежно.

Гипотезы:

прибор работает в благоприятном режиме;

прибор работает в неблагоприятном режиме;

Вероятности гипотез равны соответственно

Обозначим через событие, состоящее в работе без отказа k -го узла, k = 1,2,3,4,5,6.

Учитывая количество входящих в узлы элементов, а также строение цепи, получаем следующую формулу, описывающую безотказную работу цепи

Тогда

Учитывая, что вероятность безотказной работы за время Т, каждого из элементов одна и та же, обозначим ее через р. Имеем

Тогда условные вероятности события А равны:

По формуле полной вероятности получаем:

Ответ: средняя надежность 0,6525.

4.3.1. Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более трех изделий.

Решение. n= 1000, p= 0,002.

Применим формулу Пуассона:

По условию имеем:

Искомая вероятность

Ответ: 0,8571.

4.4.1. Закон распределения дискретной случайной величины X задан следующей таблицей:

Найти М (Х), s(Х) и Р (Х >2).

Решение. Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение

Искомая вероятность равна:

4.5.1. Случайная величина Х имеет плотность . Найти коэффициент А, функцию распределения F (х), вероятность неравенств –1< X <1, M (X).

Решение. Пользуясь свойством нормировки дифференциальной функции распределения, найдем значение параметра А:

Следовательно,

По определению .

Находим:

Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале равна

Находим

Математическое ожидание непрерывной случайной величины, которая имеет четную функцию плотности распределения вероятностей, равно нулю:

4.6.1. Вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна 0,8. Произведено 900 испытаний. Какова вероятность того, что отклонение относительной частоты появления события от вероятности 0,8 по абсолютной величине не превзойдет 0,05?

Решение. По условию:

,

Для решения воспользуемся формулой:

Находим:

Ответ: 0,9998.

4.7.1. Проверить независимость дискретного случайного вектора, заданного таблицей вероятностей.

Решение. Построим ряды распределения Х и Y.

Х	-3
	0,2	0,8

Y
	0,25	0,5	0,25

Проверим теперь выполнение условия для всех пар индексов i = 1, 2, j = 1, 2, 3. Очевидно, что это условие выполнено для любых i и j. Значит, компоненты X и Y независимы.

Ответ: компоненты X и Y независимы.

Контрольная работа

по теме 5 "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА"

5.1.1. Построить гистограмму частот по данным выборки. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. В качестве вариант взять середины интервалов.

Решение. Гистограмма частот служит для представления интервальных статистических рядов и имеет вид ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников с основаниями, равными длине h =3 интервалов, и высотами, равными отношению /h − плотности частоты.

Объем выборки

Найдем середины интервалов :

	2,5	5,5	8,5	11,5	14,5

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия

Исправленное среднее квадратическое отклонение

5.2.1. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием М (Х) и дисперсией D (X). По выборке (х ₁, х ₂,…, х_n) объема n = 31 вычислены оценки и неизвестных параметров. Найти доверительный интервал для математического ожидания М (Х), отвечающий доверительной вероятности g = 0,8.

Решение. Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью определяют по формуле:

Из соотношения Ф (t) = γ /2 вычисляют значение функции Лапласа:

Ф (t) = 0,4.

По таблице значений функции Лапласа находят t = 1,28. Таким образом,

Ответ:

5.3.1. Применяя метод наименьших квадратов, определить параметры корреляционной зависимости y = a + bx + cx ² по данным наблюдений, представленных в таблице.

Решение. В соответствии с требованиями метода наименьших квадратов для определения параметров а, b и с необходимо решить следующую систему уравнений:

Составим расчетную таблицу:

Х	Y				xy
-2	-1		-8			-4
-1,5		2,25	-3,375	5,0625
-1	-0,2		-1		0,2	-0,2
-0,5	0,8	0,25	-0,125	0,0625	-0,4	0,2
0,5	2,5	0,25	0,125	0,0625	1,25	0,625
å = -4,5	å = 2,1	å = 7,75	å = -12,375	å = 22,1875	å = 3,05	å = -3,375

Получаем следующую систему уравнений:

Решая ее с помощью пакета программ Excel, находим:

Следовательно, корреляционная зависимость имеет вид:

Ответ:

5.4.1. Найти выборочный коэффициент линейной корреляции по таблице.

Решение. Рассчитаем выборочный коэффициент линейной корреляции:

Для этого составим расчетную таблицу:

Х	Y			xy
å = 17	å = 24	å = 41	å = 82	å = 56

Получаем:

Ответ: 0,716.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: