НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

ЛЕКЦИЯ 4

ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

Рассмотрим функцию Точку называют точкой (локального) минимума функции , если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство:

Точку называют точкой (локального) максимума функции , если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство:

Точки максимумов и минимумов называют точками экстремума функции, а значения функций в этих точках экстремальными или экстремумами.

З а м е ч а н и е.Точки, удовлетворяющие условиям (5.27), называют критическими точками функции. Точки, в которых все частные производные одновременно обращаются в нуль, называют стационарными точками.

Последующий выбор точек экстремума из множества стационарных точек осуществляется при помощи достаточных условий экстремума.

Теорема 2. (достаточные условия экстремума). Пусть функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными до второго порядка включительно в некоторой окрестности стационарной точки и .

Если второй дифференциал в этой точке положителен при любых значениях то − точка минимума:

Если второй дифференциал в этой точке отрицателен при любых значениях , то − точка максимума:

Если второй дифференциал является знакопеременной величиной в точке , то в этой точке нет экстремума.

Если второй дифференциал неположителен или неотрицателен в точке , то в этой точке требуется дополнительное исследование.

На практике удобнее выполнять исследование функции в стационарных точках с помощью другой теоремы − теоремы, базирующейся на теории квадратичных форм и критерии знакоопределенности квадратичной формы [У-к по лин.ал. ].

Матрицей Гессе функции называют матрицу, составленную из частных производных второго порядка заданной функции

где

(2)

Заметим, что в сформулированных условиях и матрица Гессе всегда симметрическая.

Угловые миноры этой матрицы равны следующим определителям:

…,

Теорема 3. (достаточные условия экстремума с использованием критерия Сильвестра). Пусть функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными до второго порядка включительно в некоторой окрестности стационарной точки .

Если все угловые миноры матрицы Гессе положительны в стационарной точке , то − точка минимума функции:

Если угловые миноры матрицы Гессе в стационарной точке образуют знакочередующуюся последовательность, первый элемент которой отрицателен, то − точка максимума функции:

Если все миноры отличны от нуля и не подчиняются сформулированным правилам чередования знаков, то в точке нет экстремума.

Рассмотрим два частных случая.

1. Для функции двух переменных стационарная точка является решением системы уравнений:

(3)

С учетом (2) имеем:

Если функция удовлетворяет условиям теоремы 1 и в стационарной точке , то − точка экстремума, причем при − точка минимума; при − точка максимума. Если в стационарной точке , то в этой точке нет экстремума. Если в стационарной точке , то для решения вопроса нужно привлекать производные более высоких порядков.

2. Для функции трех переменных стационарная точка является решением системы уравнений:

(4)

С учетом (2) имеем:

Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы. Если в стационарной точке , то − точка минимума.

Если в стационарной точке , то − точка максимума.

Если все миноры отличны от нуля и не подчиняются сформулированным правилам чередования знаков, то в точке нет экстремума.

При исследовании функции нескольких переменных можно использовать:

АЛГОРИТМ 1 исследования функции нескольких переменных на экстремум

1) Найти стационарные точки функции из необходимых условий экстремума: .

2) В каждой найденной стационарной точке применить достаточные условия экстремума теоремы 3 для отбора точек экстремума.

3) Вычислить экстремальные значения функции.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

□ 1-й шаг. Используем необходимые условия экстремума дифференцируемой функции трех переменных:

Найдем частные производные:

Упростим полученные выражения:

Составим и решим систему алгебраических уравнений:

Система имеет единственное решение Стационарная точка − единственная точка возможного экстремума.

2-й шаг. Используем достаточные условия экстремума дифференцируемой функции двух переменных с использованием критерия Сильвестра.

Найдем все частные производные второго порядка заданной функции:

,

Составим матрицу Гессе: Эта числовая матрица соответствует данной квадратичной функции (форме).

Вычислим угловые миноры:

Так как в стационарной точке , то − точка максимума.

Таким образом, единственная точка экстремума − это точка максимума .

3-й шаг. Вычислим экстремальное значение функции:

■

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

□ 1-й шаг. Используем необходимые условия экстремума дифференцируемой функции двух переменных:

Найдем частные производные

Составим и решим систему алгебраических уравнений:

Система имеет два решения: и . Эти пары чисел являются координатами стационарных точек и − точек, «подозрительных» на экстремум.

2-й шаг. Используем достаточные условия экстремума дифференцируемой функции двух переменных с использованием критерия Сильвестра.

Найдем все частные производные второго порядка заданной функции:

,

Составим матрицу Гессе: .

В каждой стационарной точке вычислим элементы матрицы и ее определитель.

Начинаем вычисления с точки :

Так как , то является точкой экстремума. При этом − точка минимума, так как Значение функции в этой точке равно .

Продолжим вычисления в точке :

Так как , то не является точкой экстремума. Таким образом, единственная точка экстремума − это точка минимума .

3-й шаг. Вычислим экстремальное значение функции:

.■

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: