ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ 8

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В НОРМАЛЬНОМ ВИДЕ

Рассмотрим систему уравнений вида:

(1)

Система (1) является системой дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций которые входят в уравнения системы под знаками производных. Набор функций называется решением системы на некотором интервале если при подстановке этих функций в уравнения системы каждое уравнение обращается в верное равенство для любого .

Систему (1) называют системой дифференциальных уравнений, приведенной к нормальному виду. Каждое уравнение этой системы имеет первый порядок, всю систему называют системой -го порядка по числу уравнений.

В левых частях уравнений системы (1) производные часто записывают в виде вместо . Если независимая переменная носит имя (время), то производные искомых функций обозначают , или

Всякую систему дифференциальных уравнений -го порядка можно записать в векторно-матричной форме. Введем следующие матрицы:

матрицу-столбец (вектор-функцию) решений ,

матрицу-столбец правых частей системы

Производной матрицы называют матрицу, элементы которой равны производным элементов исходной матрицы. Отметим, что правила дифференцирования матриц повторяют правила дифференцирования функций одной переменной.

Согласно введенному определению

.

Тогда систему (1) можно записать в матричном виде:

. (2)

Приведенная форма записи системы компактна и по этой причине далее часто используется. Запись (1) называют скалярной формой записи системы дифференциальных уравнений, а (2) − матричной формой, или векторно-матричной формой.

Пример 1. Записать в векторно-матричной форме систему дифференциальных уравнений 2-го порядка

□ Введем следующие матрицы: Тогда

векторно-матричная форма записи заданной системы такова:

или ■

Задача Коши для системы дифференциальных уравненийсостоит в отыскании такого решения системы (1), которое удовлетворяет начальным условиям:

или (3)

где .

Теорема 1 (существования и единственности решения). Если элементы матрицы непрерывны и имеют ограниченные частные производные для любых в некоторой области то при любых начальных условиях существует и притом единственное решение () задачи Коши (2),(3), определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее как системе уравнений: так и начальным условиям

Вектор-функцию называют общим решением системы (2) в области , если:

1) при любых значениях произвольных постоянных она является решением системы; 2) для любых начальных условий существует набор значений произвольных постоянных , при которых удовлетворяет заданным начальным условиям (3), т.е. является решением задачи Коши.

Между системами дифференциальных уравнений -го порядка и дифференциальными уравнениями -го порядка существует связь. Всякое дифференциальное уравнение п-го порядка может быть сведено к решению системы дифференциальных уравнений п-го порядка, и всякая система п-го порядка, записанная в нормальном виде, может быть сведена к решению дифференциального уравнения, порядок которого не превышает числа п. Проиллюстрируем приведенное утверждение на двух примерах.

Пример 2. Решить систему дифференциальных уравнений 2-го порядка

(4)

сведя ее к дифференциальному уравнению.

□ Исключим из системы (4) функцию и ее производную. Для этого используем первое уравнение системы (3), откуда

(5)

Подставим во второе уравнение системы: и получим

. (6)

Это уравнение является дифференциальным уравнением 2-го порядка относительно функции Если функция − решение этого уравнения, то вторая функция может быть найдена из уравнения (5).

Перепишем уравнение (6): . Это уравнение является линейным неоднородным уравнением 2-го порядка со специальной правой частью. Его общее решение имеет вид: Подставим в формулу (5) и найдем :

.

Общее решение системы (4) имеет вид:

В векторно-матричной форме ответ можно записать так:

■

В приведенных примерах показано, как выполнять переходы от системы дифференциальных уравнений к дифференциальному уравнению относительно одной из функций в системе, и, наоборот, от уравнения к системе.

Заметим, что в ранее приведены приемы решения дифференциальных уравнений высших порядков, фактически состоящие в переходах от дифференциальных уравнений высших порядков к системам дифференциальных уравнений меньших порядков.

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Систему

(7)

называют линейной системой дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций , если коэффициенты − действительные числа или функции переменной Запишем эту систему в векторно-матричной форме:

(8)

где , − матрица-столбец, или вектор-функция решений, − матрица коэффициентов, − матрица-столбец правых частей уравнений системы.

Если то систему (8) называют системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Если то систему

(9)

называют системой линейных однородных дифференциальных уравнений. Говорят, что система (9) является однородной системой, соответствующей данной неоднородной системе. Обе системы − однородная и неоднородная − имеют п -й порядок. В теории систем дифференциальных уравнений используют сокращения (аббревиатуры) ЛОСУ и ЛНСУ для линейных однородных и линейных неоднородных систем уравнений соответственно.

Системы (7)−(9) называют системами с переменными коэффициентами, если хотя бы один элемент матрицы зависит от , в противном случае говорят о системах с постоянными коэффициентами.