ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Естественная параметризация кривойК лекции №5 от 05.03.14. Длина дуги кривой Рассмотрим кривую γ заданную = (х (t); y (t); z (t)) t (a, b). Интервал (a, b) разобьем на n частей точками t 0= a, t 1,…, tп = b. Получим точки на кривой М0, М1, …, М п. Рассмотрим i -ый кусок Δ ti = ti+1 - ti. , - = Δ Следовательно = Рассмотрим сумму длин всех хорд и длин соответствующих отрезков по касательной . Пусть последовательность разбиений такая, что тах Δ ti → 0. = → Так как │ │ является некоторой скалярной функцией f (t) = = = Таким образом, длина ломанной, вписанной в кривую, при бесконечном измельчении стремится к пределу, который называется длиной кривой. lγ = (*) Т.к. lγ = Частные случаи для плоских кривых γ: 1. γ задана явным уравнением у = f (х) lγ = . 2. γ задана в полярной системе координат: , в качестве параметра t = φ (α, β). , lγ = . Естественная параметризация кривой Выбор параметра t на кривой произволен. Выберем параметризацию непосредственно связанную с самой кривой, а именно в качестве параметра возьмем длину дуги кривой. Пусть γ: = (х (t); y (t); z (t)) t (a, b), фиксируем некоторую точку М0(t 0) в качестве начала отсчета, тогда М (t) γ ММ0 = В формуле (*) подразумевалось, что a < b, a у нас может быть t 0 < t или t < t 0 значит, величина S = может быть и положительной и отрицательной и зависит от t. Т.е. - функция (интеграл с переменным верхним пределом). s ′(t) = │ │ > 0 s (t) - монотонно возрастающая функция, а значит для нее существует обратная, т.е. существует функция t = t (s). (Почему?) Т.о. любой точке кривой соответствует некоторое значение s. И, наоборот, любому значению s (из некоторого интервала) соответствует единственная точка на кривой. Т.е. в качестве параметра действительно можно взять s – длину дуги кривой. Произвол остается только в выборе начала отсчета и направления отсчета. Определение: Если в качестве параметра выступает длина дуги кривой, то такая параметризация называется естественной или натуральной параметризацией кривой. Замечание: В некоторых случаях переход к естественному параметру s неудобен из-за громоздких вычислений. Вернемся к s ′(t) = │ │ . Т.е. модуль дифференциала длины дуги равен модулю дифференциала радиус-вектора. Обозначение: В дальнейшем будем обозначать производную по естественному параметру - и производную по произвольному параметру . Вернемся к , отсюда можно получить несколько полезных формул: (1) = = 1 (2) t ′(s)= Формулу (1) иногда называют основным свойством естественного параметра – модуль производной по естественному параметру равен 1. Рассмотрим еще несколько формул. Т.е. векторы ↑↑ и отличаются только длиной. Вектор имеет единичную длину, а длина вектора не равна 1. Вектор является направляющим вектором касательной, а значит, будет единичным направляющим вектором касательной, т.е. = . Т.к. вектор имеет постоянную длину равную 1, то по свойству вектор-функции или . Рассмотрим Т.е. , но т.к. и Тогда - коллинеарен направляющему вектору главной нормали (т.к. касательная, бинормаль и главная нормаль попарно перпендикулярны). Условимся единичный вектор главной нормали откладывать в направлении вектора , т.е. . Единичный вектор бинормали направим так, чтобы тройка векторов была правой, т.е. .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|