Сопровождающий трехгранник кривой

Лекция № 5 от 05.03.14.

Пусть в окрестности точки М дана регулярная кривая заданная вектор-функцией . Значит для нее можно найти уравнения касательной, нормальной и соприкасающейся плоскостей, причем эти плоскости будут взаимно перпендикулярны и любая прямая лежащая в нормальной плоскости будет перпендикулярна касательной. Среди этих прямых (нормалей) выберем две: одну перпендикулярную соприкасающейся плоскости, другую лежащую на соприкасающейся плоскости.

Определение: Нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости называется бинормалью.

Направляющий вектор бинормали можно найти, используя нормальный вектор соприкасающейся плоскости - × ||

Определение: Нормаль, лежащая на соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью.

Замечание: Бинормаль и главная нормаль перпендикулярны друг другу.

Т.о. имеется три взаимно перпендикулярных прямых – касательная, бинормаль и главная нормаль. Т.е. в окрестности точки М образовалась ПДСК, связанная с кривой, координатные оси которой совпадают с этими прямыми. Двумя координатными плоскостями являются нормальная и соприкасающаяся плоскости. К ним можно добавить третью плоскость, проходящую через касательную и бинормаль.

Определение: Плоскость, содержащую бинормаль и касательную будем называть спрямляющей.

Тогда вектор перпендикулярный спрямляющей плоскости, можно найти с помощью векторного произведения направляющего вектора касательной и направляющего вектора бинормали - || ×( × ). А так как главная нормаль перпендикулярна спрямляющей плоскости, то этот же вектор можно считать направляющим вектором главной нормали.

РИСУНОК

Вывод: В окрестности точки кривой существует система, состоящая из трех взаимно перпендикулярных прямых (касательной, бинормали и главной нормали) и трех взаимно перпендикулярных плоскостей (нормальной, соприкасающейся и спрямляющей).

Определение: Совокупность трех прямых (касательной, бинормали и главной нормали) и трех взаимно перпендикулярных плоскостей (нормальной, соприкасающейся и спрямляющей) называется сопровождающим трехгранником кривой.

прямые	параллельный (направляющий)	векторы	нормальный (перпендикулярный)	плоскости
касательная	=	нормальная
бинормаль	= ×	соприкасающаяся
главная нормаль	= ×( × )	спрямляющая

Задача. Составить уравнения сопровождающего трехгранника кривой γ: в точке М для которой t = 4.

Решение. Найдем координаты точки М и векторы первой и второй производных.

М(6; -3; 0)

=(-1,5; 0,25;-4).

Тогда || ||(-1,5; 0,25;-4)||(6; -1; 16).

║ × = || (40; 384; 9)

║ ×( × )=

|| (-6153; 586; 2344)

Тогда уравнения сопровождающего трехгранника кривой в точке М имеют вид:

Касательная -

Нормальная плоскость - 6 х – у +16 z – 39 = 0

Бинормаль -

Соприкасающаяся плоскость - 40 х + 384 у + 9 z + 912 = 0

Главная нормаль -

Спрямляющая плоскость - -6153 х + 586 у +2344 z – 35160 = 0

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: