ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Сопровождающий трехгранник кривойЛекция № 5 от 05.03.14.
Пусть в окрестности точки М дана регулярная кривая заданная вектор-функцией . Значит для нее можно найти уравнения касательной, нормальной и соприкасающейся плоскостей, причем эти плоскости будут взаимно перпендикулярны и любая прямая лежащая в нормальной плоскости будет перпендикулярна касательной. Среди этих прямых (нормалей) выберем две: одну перпендикулярную соприкасающейся плоскости, другую лежащую на соприкасающейся плоскости. Определение: Нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости называется бинормалью. Направляющий вектор бинормали можно найти, используя нормальный вектор соприкасающейся плоскости - × || Определение: Нормаль, лежащая на соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Замечание: Бинормаль и главная нормаль перпендикулярны друг другу. Т.о. имеется три взаимно перпендикулярных прямых – касательная, бинормаль и главная нормаль. Т.е. в окрестности точки М образовалась ПДСК, связанная с кривой, координатные оси которой совпадают с этими прямыми. Двумя координатными плоскостями являются нормальная и соприкасающаяся плоскости. К ним можно добавить третью плоскость, проходящую через касательную и бинормаль. Определение: Плоскость, содержащую бинормаль и касательную будем называть спрямляющей. Тогда вектор перпендикулярный спрямляющей плоскости, можно найти с помощью векторного произведения направляющего вектора касательной и направляющего вектора бинормали - || ×( × ). А так как главная нормаль перпендикулярна спрямляющей плоскости, то этот же вектор можно считать направляющим вектором главной нормали. РИСУНОК
Вывод: В окрестности точки кривой существует система, состоящая из трех взаимно перпендикулярных прямых (касательной, бинормали и главной нормали) и трех взаимно перпендикулярных плоскостей (нормальной, соприкасающейся и спрямляющей). Определение: Совокупность трех прямых (касательной, бинормали и главной нормали) и трех взаимно перпендикулярных плоскостей (нормальной, соприкасающейся и спрямляющей) называется сопровождающим трехгранником кривой.
Задача. Составить уравнения сопровождающего трехгранника кривой γ: в точке М для которой t = 4. Решение. Найдем координаты точки М и векторы первой и второй производных. М(6; -3; 0) =(-1,5; 0,25;-4). Тогда || ||(-1,5; 0,25;-4)||(6; -1; 16). ║ × = || (40; 384; 9) ║ ×( × )= || (-6153; 586; 2344) Тогда уравнения сопровождающего трехгранника кривой в точке М имеют вид: Касательная - Нормальная плоскость - 6 х – у +16 z – 39 = 0 Бинормаль - Соприкасающаяся плоскость - 40 х + 384 у + 9 z + 912 = 0 Главная нормаль - Спрямляющая плоскость - -6153 х + 586 у +2344 z – 35160 = 0
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|