Натуральные уравнения пространственной кривой
Лекция № 6 от 19.03.14.
Кривизна кривой.
Окружность большого радиуса воспринимается менее искривленной, чем окружность с маленьким радиусом. А прямая линия не имеет искривлений. Попытаемся дать количественную оценку понятия кривизна.
Что бы подойти к точному определению заметим, что чем сильнее искривление, тем быстрее меняет свое направление касательная. Поэтому в качестве меры искривления целесообразно брать угол поворота касательной, или точнее скорость угла поворота касательной.
Рассмотрим кривую в двух точках М(s) и L(s+ Δ s). Пусть UМL=Δ s,
Векторы касательной в этих точках и , и угол между ними Δ φ.
Определение: Кривизной кривой в точке называется величина k 1 = .
Замечание: Другими словами кривизной кривой называется скорость изменения угла касательной.
Перенесем векторы и в одну точку – А, и рассмотрим ΔАВС: , , , тогда Δ φ= ÐВАС, АВ = АС = 1 и .
Обозначим середину ВС - К, тогда по свойствами равнобедренного треугольника: ВС = 2·ВК = 2·АВ· sin = 2· sin и

При Δ s → 0 угол между касательными Δ φ→ 0, тогда sin (Δ φ) ≈ Δ φ.
k 1 = 

Т.о. k 1 = 
Т.к. , тогда

С другой стороны .
Т.о. кривизна кривой, заданной в произвольной параметризации можно найти по формуле: 
Замечание: Кривизна кривой всегда не отрицательна, k 1 ≥ 0.
Определение: Если в точке кривизна равна 0. то точка называется точкой распрямления.
Для точек распрямления k 1 = 0, а значит .
Теорема: Для того, чтобы линия была прямой необходимо и достаточно, чтобы её кривизна в любой точке равнялась 0.
Доказательство:
Необходимость. Если линия прямая, тогда
k 1 = 0.
Достаточность. k 1 = 0 
- это и есть прямая.
Определение: Величину R = называют радиусом кривизны.
Кручение кривой
Рассмотрим кривую в двух точках М(s) и L(s+ Δ s). Пусть UМL=Δ s,
Векторы бинормали в этих точках и , и угол между ними Δ θ я вляется углом между соприкасающимися плоскостями.
Определение: Абсолютным кручением называется | k 2 |= .
Замечание: Другими словами кручением кривой называется скорость изменения угла соприкасающейся плоскости.
Перенесем векторы и в одну точку – А, и рассмотрим ΔАDС: , , , тогда Δ θ= ÐDАС, АD = АС = 1 и .
Обозначим середину DС - К, тогда по свойствами равнобедренного треугольника: DС = 2·СК = 2·АС· sin = 2· sin и

При Δ s → 0 угол между касательными Δ θ→ 0, тогда sin (Δ θ) ≈ Δ θ.
| k 2 |= 

Т.о. | k 2 |= 
Т.к. - вектор единичной длины 

т.е. 
Т.к. | k 2 |= λ = ± | k 2 | 
Определение: Кручением кривой называется величина k 2 = ± | k 2 |, которая берется со знаком плюс, если вращение соприкасающейся плоскости направлено от к , и со знаком минус, если вращение от к .
В формуле возьмем знак минус 


Т.о. 
Для произвольной параметризации:
Т.к. 






Теорема: Для того, что бы кривая γ была плоской необходимо и достаточно, чтобы кручение в любой точке равнялось 0.
Доказательство:
Необходимость. Если кривая плоская, отсюда следует, что соприкасающаяся плоскость для любой точки одна и та же и совпадает с плоскостью кривой. , а так как , тогда k 2 = 0.
Достаточность. Если k 2 = 0 .
Т.к. 

Т.е. если и 
- уравнение плоскости.
Вывод: Вычислительные формулы для кривизны и кручения
| Кривизна
| Кручение
| естественная
параметризация
|
|
| произвольная
параметризация
|
|
|
Задача. Найти кривизну и кручение для кривой, заданной явным уравнением у=f (х).
Решение. Так как уравнение явное, то кривая плоская, а значит ее кручение равно 0.
Для нахождения кривизны перейдем к параметрическому уравнению


и 

Задача. Найти кривизну для плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями х = х (t) у = у (t).
Решение. Для нахождения кривизны перейдем к параметрическим уравнениям в пространстве


и 

Формулы Френе
Пусть γ - кривая заданная естественной параметризацией в окрестности точки М0(s 0). Пусть векторы и не коллинеарны и отличны от нулевого вектора. Векторы - попарно перпендикулярные единичные векторы сопровождающего трехгранника. При изменении s на Δ s получим три векторных функций .
Причем:

и , т.к. и 
Т.к. и 
- первая формула Френе.
- продифференцируем по s.

Т.к. и ( - вектор единичной длины) 
Т.е. k 2: .
Таким образом, получаем - третья формула Френе.

- вторая формула Френе.
Таким образом, получили:
первая формула Френе 
вторая формула Френе 
третья формула Френе 
Для запоминания

Замечание: Формулы Френе показывают зависимость между векторами и их производными. Т.е. единичные векторы сопровождающего трехгранника играют роль базиса, коэффициентами разложения по этому базису выступают кривизна и кручение.
Достаточно ли знать только кривизну и кручение для задания кривой?
Натуральные уравнения пространственной кривой
Рассмотрим кривую γ заданную естественной параметризацией в окрестности некоторой точки М. Кривизна k 1 и кручение k 2 являются функциями от s - k 1 = k 1(s), k 2 = k 2(s). (*)
Будем считать, что k 1 ≠0 - нет точек распрямления. Т.к. длина дуги не зависит от выбора системы координат, то и вид функций k 1(s) и k 2(s)не зависит от выбора системы координат.
Определение: Уравнения k 1 = k 1(s), k 2 = k 2(s) называются, натуральными уравнениями пространственной кривой.
Теорема: Для того, что бы две кривые γ1 и γ2 отличались лишь положением в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы их натуральные уравнения были одинаковыми (после согласования начал отсчета и направлений).
Доказательство: Необходимость: γ1 и γ2 - отличаются положением в пространстве, отсюда следует, что существуют повороты и параллельный перенос координатных осей.
Согласуем начало отсчета и направление М01 и М02, М11 и М22, причем М01М11= М02М22 = Δ s.
Угол между касательными остается постоянным Δ φ 1=Δ φ 2 .
Угол между бинормалями остается постоянным, значит Δ ϑ 1=Δ ϑ 2 .
вид функциональной зависимости k 1(s) и k 2(s)обоих кривых одинаков.
Достаточность: без доказательства.
Теорема: Если есть две произвольные функции φ (s)≥0 и ψ (s) - непрерывные s (s 1, s 2), то существует пространственная кривая, для которой k 1= φ (s) и k 2= ψ (s). Кривая будет определена с точностью до положения в пространстве.
По формулам Френе
-система из 9 линейных дифференциальных
уравнений для скалярных функций
(координатных).
(для каждой координаты), тогда 
искомая кривая. (без доказательства).
Основная теорема.

Выполним разложение в ряд Тейлора.
, где функции - непрерывны и дифференцируемы в достаточное число раз. Отсюда следует, что они ограничены: < ограничен по модулю. >0 постоянная одинаковая для .
Т.е. < 



один из оценили максимумом

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|