![]() ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Натуральные уравнения пространственной кривойЛекция № 6 от 19.03.14. Кривизна кривой. Окружность большого радиуса воспринимается менее искривленной, чем окружность с маленьким радиусом. А прямая линия не имеет искривлений. Попытаемся дать количественную оценку понятия кривизна. Что бы подойти к точному определению заметим, что чем сильнее искривление, тем быстрее меняет свое направление касательная. Поэтому в качестве меры искривления целесообразно брать угол поворота касательной, или точнее скорость угла поворота касательной. Рассмотрим кривую Векторы касательной в этих точках Определение: Кривизной кривой в точке называется величина k 1 = Замечание: Другими словами кривизной кривой называется скорость изменения угла касательной. Перенесем векторы Обозначим середину ВС - К, тогда по свойствами равнобедренного треугольника: ВС = 2·ВК = 2·АВ· sin При Δ s → 0 угол между касательными Δ φ→ 0, тогда sin (Δ φ) ≈ Δ φ. k 1 = Т.о. k 1 = Т.к. С другой стороны Т.о. кривизна кривой, заданной в произвольной параметризации можно найти по формуле: Замечание: Кривизна кривой всегда не отрицательна, k 1 ≥ 0. Определение: Если в точке кривизна равна 0. то точка называется точкой распрямления. Для точек распрямления k 1 = 0, а значит Теорема: Для того, чтобы линия была прямой необходимо и достаточно, чтобы её кривизна в любой точке равнялась 0. Доказательство: Необходимость. Если линия прямая, тогда
Достаточность. k 1 = 0
Определение: Величину R = Кручение кривой Рассмотрим кривую Векторы бинормали в этих точках Определение: Абсолютным кручением называется | k 2 |= Замечание: Другими словами кручением кривой называется скорость изменения угла соприкасающейся плоскости. Перенесем векторы Обозначим середину DС - К, тогда по свойствами равнобедренного треугольника: DС = 2·СК = 2·АС· sin При Δ s → 0 угол между касательными Δ θ→ 0, тогда sin (Δ θ) ≈ Δ θ. | k 2 |= Т.о. | k 2 |= Т.к.
Т.к. | k 2 |= Определение: Кручением кривой называется величина k 2 = ± | k 2 |, которая берется со знаком плюс, если вращение соприкасающейся плоскости направлено от В формуле Т.о. Для произвольной параметризации: Т.к.
Теорема: Для того, что бы кривая γ была плоской необходимо и достаточно, чтобы кручение в любой точке равнялось 0. Доказательство: Необходимость. Если кривая плоская, отсюда следует, что соприкасающаяся плоскость для любой точки одна и та же и совпадает с плоскостью кривой. Достаточность. Если k 2 = 0 Т.к. Т.е. если
Вывод: Вычислительные формулы для кривизны и кручения
Задача. Найти кривизну и кручение для кривой, заданной явным уравнением у=f (х). Решение. Так как уравнение явное, то кривая плоская, а значит ее кручение равно 0. Для нахождения кривизны перейдем к параметрическому уравнению
Задача. Найти кривизну для плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями х = х (t) у = у (t). Решение. Для нахождения кривизны перейдем к параметрическим уравнениям в пространстве
Формулы Френе Пусть γ - кривая заданная естественной параметризацией Причем:
Т.к.
Т.к. Т.е. Таким образом, получаем
Таким образом, получили: первая формула Френе вторая формула Френе третья формула Френе Для запоминания Замечание: Формулы Френе показывают зависимость между векторами Достаточно ли знать только кривизну и кручение для задания кривой? Натуральные уравнения пространственной кривой Рассмотрим кривую γ заданную естественной параметризацией Будем считать, что k 1 ≠0 - нет точек распрямления. Т.к. длина дуги не зависит от выбора системы координат, то и вид функций k 1(s) и k 2(s)не зависит от выбора системы координат. Определение: Уравнения k 1 = k 1(s), k 2 = k 2(s) называются, натуральными уравнениями пространственной кривой. Теорема: Для того, что бы две кривые γ1 и γ2 отличались лишь положением в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы их натуральные уравнения были одинаковыми (после согласования начал отсчета и направлений). Доказательство: Необходимость: γ1 и γ2 - отличаются положением в пространстве, отсюда следует, что существуют повороты и параллельный перенос координатных осей. Согласуем начало отсчета и направление М01 и М02, М11 и М22, причем Угол между касательными остается постоянным Δ φ 1=Δ φ 2 Угол между бинормалями остается постоянным, значит Δ ϑ 1=Δ ϑ 2
Достаточность: без доказательства. Теорема: Если есть две произвольные функции φ (s)≥0 и ψ (s) - непрерывные
-система из 9 линейных дифференциальных уравнений для скалярных функций (координатных).
Основная теорема. Выполним разложение
Т.е.
один из
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|