Натуральные уравнения пространственной кривой

Лекция № 6 от 19.03.14.

Кривизна кривой.

Окружность большого радиуса воспринимается менее искривленной, чем окружность с маленьким радиусом. А прямая линия не имеет искривлений. Попытаемся дать количественную оценку понятия кривизна.

Что бы подойти к точному определению заметим, что чем сильнее искривление, тем быстрее меняет свое направление касательная. Поэтому в качестве меры искривления целесообразно брать угол поворота касательной, или точнее скорость угла поворота касательной.

Рассмотрим кривую в двух точках М(s) и L(s+Δs). Пусть UМL=Δs,

Векторы касательной в этих точках и , и угол между ними Δφ.

Определение: Кривизной кривой в точке называется величина k₁ = .

Замечание: Другими словами кривизной кривой называется скорость изменения угла касательной.

Перенесем векторы и в одну точку – А, и рассмотрим ΔАВС: , , , тогда Δφ=ÐВАС , АВ = АС = 1 и .

Обозначим середину ВС - К, тогда по свойствами равнобедренного треугольника: ВС = 2·ВК = 2·АВ·sin =2·sin и

При Δs → 0 угол между касательными Δφ→0, тогда sin(Δφ) ≈ Δφ.

k₁ =

Т.о. k₁ =

Т.к. , тогда

С другой стороны .

Т.о. кривизна кривой, заданной в произвольной параметризации можно найти по формуле:

Замечание: Кривизна кривой всегда не отрицательна, k₁ ≥ 0.

Определение: Если в точке кривизна равна 0. то точка называется точкой распрямления.

Для точек распрямления k₁ = 0, а значит .

Теорема: Для того, чтобы линия была прямой необходимо и достаточно, чтобы её кривизна в любой точке равнялась 0.

Доказательство:

Необходимость. Если линия прямая, тогда

k₁ = 0.

Достаточность. k₁ = 0

- это и есть прямая.

Определение: Величину R= называют радиусом кривизны.

Кручение кривой

Рассмотрим кривую в двух точках М(s) и L(s+Δs). Пусть UМL=Δs,

Векторы бинормали в этих точках и , и угол между ними Δθ является углом между соприкасающимися плоскостями.

Определение: Абсолютным кручением называется | k₂ |= .

Замечание: Другими словами кручением кривой называется скорость изменения угла соприкасающейся плоскости.

Перенесем векторы и в одну точку – А, и рассмотрим ΔАDС: , , , тогда Δθ=ÐDАС , АD = АС = 1 и .

Обозначим середину DС - К, тогда по свойствами равнобедренного треугольника: DС = 2·СК = 2·АС·sin =2·sin и

При Δs → 0 угол между касательными Δθ→0, тогда sin(Δθ) ≈ Δθ.

| k₂ |=

Т.о. | k₂ |=

Т.к. - вектор единичной длины

т.е.

Т.к. | k₂ |= λ = ± | k₂ |

Определение: Кручением кривой называется величина k₂ = ± | k₂ |, которая берется со знаком плюс, если вращение соприкасающейся плоскости направлено от к , и со знаком минус, если вращение от к .

В формуле возьмем знак минус

Т.о.

Для произвольной параметризации:

Т.к.

Теорема: Для того, что бы кривая γ была плоской необходимо и достаточно, чтобы кручение в любой точке равнялось 0.

Доказательство:

Необходимость. Если кривая плоская, отсюда следует, что соприкасающаяся плоскость для любой точки одна и та же и совпадает с плоскостью кривой. , а так как , тогда k₂ = 0.

Достаточность. Если k₂ = 0 .

Т.к.

Т.е. если и

- уравнение плоскости.

Вывод: Вычислительные формулы для кривизны и кручения

	Кривизна	Кручение
естественная параметризация
произвольная параметризация

Задача. Найти кривизну и кручение для кривой, заданной явным уравнением у=f(х).

Решение. Так как уравнение явное, то кривая плоская, а значит ее кручение равно 0.

Для нахождения кривизны перейдем к параметрическому уравнению

и

Задача. Найти кривизну для плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями х = х(t) у = у(t).

Решение. Для нахождения кривизны перейдем к параметрическим уравнениям в пространстве

и

Формулы Френе

Пусть γ - кривая заданная естественной параметризацией в окрестности точки М₀(s₀). Пусть векторы и не коллинеарны и отличны от нулевого вектора. Векторы - попарно перпендикулярные единичные векторы сопровождающего трехгранника. При изменении s на Δs получим три векторных функций .

Причем:

и , т.к. и

Т.к. и

- первая формула Френе.

- продифференцируем по s.

Т.к. и ( - вектор единичной длины)

Т.е. k₂ : .

Таким образом, получаем - третья формула Френе.

- вторая формула Френе.

Таким образом, получили:

первая формула Френе

вторая формула Френе

третья формула Френе

Для запоминания

Замечание: Формулы Френе показывают зависимость между векторами и их производными. Т.е. единичные векторы сопровождающего трехгранника играют роль базиса, коэффициентами разложения по этому базису выступают кривизна и кручение.

Достаточно ли знать только кривизну и кручение для задания кривой ?

Натуральные уравнения пространственной кривой

Рассмотрим кривую γ заданную естественной параметризацией в окрестности некоторой точки М. Кривизна k₁ и кручение k₂ являются функциями от s - k₁ = k₁(s), k₂ = k₂(s). (*)

Будем считать, что k₁ ≠0 - нет точек распрямления. Т.к. длина дуги не зависит от выбора системы координат, то и вид функций k₁(s) и k₂(s)не зависит от выбора системы координат.

Определение: Уравнения k₁ = k₁(s), k₂ = k₂(s) называются, натуральными уравнениями пространственной кривой.

Теорема: Для того, что бы две кривые γ₁ и γ₂ отличались лишь положением в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы их натуральные уравнения были одинаковыми (после согласования начал отсчета и направлений).

Доказательство: Необходимость: γ₁ и γ₂ - отличаются положением в пространстве, отсюда следует, что существуют повороты и параллельный перенос координатных осей.

Согласуем начало отсчета и направление М₀₁ и М₀₂, М₁₁ и М₂₂ , причем М₀₁М₁₁= М₀₂М₂₂=Δs.

Угол между касательными остается постоянным Δφ₁=Δφ₂ .

Угол между бинормалями остается постоянным, значит Δϑ₁=Δϑ₂ .

вид функциональной зависимости k₁(s) и k₂(s)обоих кривых одинаков.

Достаточность: без доказательства.

Теорема: Если есть две произвольные функции φ(s)≥0 и ψ(s) - непрерывные s (s₁, s₂), то существует пространственная кривая, для которой k₁=φ(s) и k₂=ψ(s). Кривая будет определена с точностью до положения в пространстве.

По формулам Френе

-система из 9 линейных дифференциальных

уравнений для скалярных функций

(координатных).

(для каждой координаты), тогда

искомая кривая. (без доказательства).

Основная теорема.

Выполним разложение в ряд Тейлора.

, где функции - непрерывны и дифференцируемы в достаточное число раз. Отсюда следует, что они ограничены: < ограничен по модулю. >0 постоянная одинаковая для .

Т.е. <

один из оценили максимумом

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: