Относительные и абсолютные величины

Примеры решения задач по статистике для ВПО

Средние величины и показатели вариации

Задание 1

С целью изучения затрат времени на обслуживание одного покупателя в магазине бытовой техники было проведено выборочное наблюдение. Результат наблюдения представлен в таблице 1.

Таблица 1

Рассчитать:

1) среднее время на обслуживание одного покупателя;

2) размах вариации;

3) среднее квадратическое отклонение;

4) коэффициент вариации.

Сделать вывод об однородности статистической совокупности и о надежности средней величины.

Решение:

В данном случае необходимо вычислить среднюю интервального ряда. Поэтому в качестве значения признаков в группах принимаются середины интервалов (простая средняя между верхней и нижней границей каждого интервала), в результате чего образуется дискретный ряд.

Если имеются интервалы с открытыми границами (в данной задаче это первый и последний интервал), то для расчета средней в этих условиях условно определяют неизвестную границу интервала. Обычно в этих условиях берут значение последующего интервала (для первого) или предыдущего (для последнего).

С учетом этих замечаний рассчитаем среднюю оценку по формуле средней арифметической взвешенной (т.к. каждое значение признака в исследуемой совокупности встречается неодинаковое число раз)

(1)

где x_i – значение признака;

f_i – частота

Вариация признака – различие индивидуальных значений признака внутри совокупности. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом конкретном случае.

Средняя величина – обобщающий показатель совокупности, она не показывает строение совокупности, не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от неё. Для изучения величины отклонений применяют показатели вариации.

1) Размах вариации – наиболее простой измеритель вариации и представляет собой разность между наибольшим (X_max) и наименьшим (X_min) значением признака:

(2)

Величина R показывает в каких пределах колеблется размер признака. Показатель указывает на общие размеры вариации, но не дает представления о степени колеблемости внутри совокупности. С помощью размаха вариации определяют допустимые размеры колебаний.

2) Среднее квадратичное отклонение равно корню квадратному из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней, т.е. из дисперсии:

, (3)

где G² – дисперсия, определяемая по формуле:

- для простых величин;

(4)

- для взвешенных величин.

(5)

Чем меньше оно, тем лучше среднее значение отражает собой представленную совокупность.

На основании вышеперечисленных показателей вариации рассчитывается показатели относительного рассеивания, а именно коэффициент вариации – процентное соотношение среднего квадратического отклонения к средней величине:

. (6)

Чем больше величина коэффициента вариации, тем больше разброс значений вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя [3, с. 126]. Если V превышает 40%, то середина рассчитана по неоднородной совокупности и не будет являться типичной для данной совокупности [5].

Данные для расчета средней величины, размаха вариации, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации представлены в таблице 2.

Таблица 2

Непосредственно расчет средней величины, размаха вариации, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации представлены в таблице 3.

Таблица 3

Показатель	Формула расчета	Значение
Средние затраты времени, мин		= 9,625
Среднее квадратическое отклонение		= 2,15
Коэффициент вариации		= 22,31
Размах вариации		12 – 4 = 8

Вывод: средние затраты времени на обслуживание одного покупателя в магазинах бытовой техники составляют 9,625 минут. При этом время на обслуживание клиентов может колебаться от 4 до 12 минут (т.е. допустимый размах колебаний составляет 8 минут). Данная совокупность является однородной: значение коэффициента вариации (22%) не превышает пороговое значение в 40%.

Таким образом, рассчитанное среднее время на обслуживание одного клиента является типичной для данной совокупности.

Задание 2

Имеются данные о численности работников предприятия на начало каждого квартала года. Определить средние характеристики динамического ряда: средний уровень ряда (средняя численность работников), средний абсолютный прирост и средний темп роста и прироста. Указать виды средних, которые были использованы.

Решение:

1. Определим среднюю численность работников по средней хронологической, т.к. известны данные на начало каждого квартала (это моментный временной ряд):

,

где Т₁, Т₂, Т₃, Т₄, Т₅ – численность работников на начало каждого квартала;

n – число кварталов.

чел.

Таким образом, средняя численность работников по предприятию в течение года составила 317 человек.

Задание 3

Данные по предприятиям объединения, выпускающим однородную продукцию, за два периода:

Рассчитайте затраты времени на производство единицы продукции в среднем по объединению за каждый период. Обоснуйте применение формул средних для расчета заданных показателей. Сделайте выводы.

Решение:

Средние затраты времени на производство единицы продукции определяются как отношение затрат времени на производство всей продукции к объему произведенной продукции.

Затраты на производство всей продукции определяются как произведение количества произведенной продукции (частоты) и времени, которое затрачивает на производство единицы продукции (признак).

Для расчета средних затрат времени на производство единицы продукции в базисном можно использовать формулу средней арифметической взвешенной. Здесь выделен признак и его частота, и признак в исследуемой совокупности встречается неодинаковое число раз. Кроме того, в логической формуле средней не известен числитель.

, где

x_i – значение признака;

f_i – частота.

Средние затраты времени на производство единицы продукции в базисном периоде составят:

часа

Затраты на производство всей продукции определяются как произведение количества произведенной продукции и времени, которое затрачивает на производство единицы продукции. В этом случае в формуле расчета средней не известен знаменатель, поэтому логично использовать формулу средней гармонической.

3,34 часа

Вывод: Средние затраты времени на производство единицы продукции в базисном периоде составили 3,87 часа, в отчетном – 3,34 часа. Таким образом, средние затраты времени на производство единицы продукции сократились на 0,53 часа.

Индексы

Имеются следующие данные о продаже товаров в магазине:

Определите:

1) индивидуальные индексы цен и физического объема продаж;

2) общий индекс цен;

3) общий индекс физического объема продаж;

4) общий индекс оборота в действующих ценах;

5) абсолютную сумму прироста оборота – всего, в том числе за счет изменения цен и количества проданных товаров.

Сделайте выводы.

Решение:

Индивидуальный индекс объема продукции определяется отдельно по каждому виду продукции и рассчитывается по формуле:

,

где q₀ и q₁ – количество реализованной продукции в товарных единицах в базисном и отчетном году соответственно.

Индивидуальные индексы цен по каждому виду продукции составят:

где р₀ и р₁ – цена реализованной продукции в базисном и отчетном году соответственно.

Индивидуальный индекс товарооборота (стоимости) определяется также отдельно по каждому виду продукции и рассчитывается по формуле:

,

Индивидуальные индексы рассчитаны в таблице.

Таким образом, выпуск продукции по группе А увеличился в отчетном году по сравнению с базисным в 1,1 раза или на 10%, по группе Б произошло снижение объема реализованной продукции на 7% (0,93*100-100), по группе В – увеличение на 4%.

Цена продукции по группе А увеличилась в отчетном году по сравнению с базисным в 1,22 раза или на 22%, по группе Б – в 1,27 раза или на 27%, по группе В – в 1,14 раза или на 14%.

Товарооборот по товарной группе А увеличился в отчетном году по сравнению с базисным в 1,34 раза или на 34%, по группе Б – в 1,18 раза или на 18%, по группе В – в 1,18 раза или на 18%.

Общий индекс товарооборота или стоимости показывает изменение объема реализованной продукции в целом по предприятию, в целом по всем группам товаров и определяется по формуле:

,

Общий индекс цен определяется по формуле:

Общий индекс физического объема определяется как:

,

Абсолютное изменение товарооборота: ;

Влияние на прирост товарооборота изменения количества проданных товаров в абсолютной величине составит:

Остальное изменение товарооборота связано с изменением цен на товар:

Для расчета этих показателей построим вспомогательную таблицу:

Общий индекс товарооборота составит:

,

Товарооборот в целом по предприятию увеличился на 22,5% или в 1,225 раза.

Общий индекс цен составит:

Товарооборот предприятия увеличился на 20% или в 1,2 раза за счет роста цен на товар.

Общий индекс физического объема составит:

Товарооборот предприятия увеличился на 2% или в 1,02 раза за счет роста объема продаж.

Абсолютное изменение товарооборота составит: рублей;

Влияние на прирост товарооборота изменения количества проданных товаров в абсолютной величине составит:

рублей

Остальное изменение товарооборота связано с изменением цен на товар:

рублей.

Вывод: Таким образом, выпуск продукции по группе А увеличился в отчетном году по сравнению с базисным в 1,1 раза или на 10%, по группе Б произошло снижение объема реализованной продукции на 7% (0,93*100-100), по группе В – увеличение на 4%.

Цена продукции по группе А увеличилась в отчетном году по сравнению с базисным в 1,22 раза или на 22%, по группе Б – в 1,27 раза или на 27%, по группе В – в 1,14 раза или на 14%.

Товарооборот по товарной группе А увеличился в отчетном году по сравнению с базисным в 1,34 раза или на 34%, по группе Б – в 1,18 раза или на 18%, по группе В – в 1,18 раза или на 18%.

Товарооборот в целом по предприятию увеличился на 22,5% или в 1,225 раза. Товарооборот предприятия увеличился на 20% или в 1,2 раза за счет роста цен на товар и увеличился на 2% или в 1,02 раза за счет роста объема продаж.

Абсолютное изменение товарооборота составило 3060 рублей, в том числе за счет изменения цен – на 2780 рублей и за счет изменения количества проданных товаров – на 280 рублей.

Группировка

Выполнить:

1. Провести группировку магазинов по уровню товарооборота, разделив магазины на 6 групп с равным интервалом. Расчеты провести как в целом по всем магазинам, так и по группам.

2. Рассчитать уровень товарооборота как всего, так и в среднем на 1 магазин.

3. Рассчитать среднее списочное число работников как всего, так и на 1 магазин.

4. Сделать письменные выводы, исходя из расчетов.

Решение:

Составим вариационный ряд распределения, упорядочив магазины по товарообороту от меньшего к большему.

Определим величину интервала:

, где

i – величина интервала;

n – число групп (в данной задаче 6 групп);

Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение признака (1300 и 400 соответственно).

Величина интервала составит:

Определим границы интервалов:

Разнесем по выделенным интервалам предприятия (разработочная таблица):

Определим в каждой группе и в целом объем оборота – всего и в среднем на один магазин и среднюю численность – всего и в среднем на один магазин, для чего составим группировочную таблицу:

Вывод: Суммарный товарооборот в первой группе 2350 млн. руб., во второй – 3850 млн. руб., в третьей – 5580 млн. руб., в четвертой – 6570 млн. руб., в пятой – 2200 млн. руб., в шестой – 3700 млн. руб. Средний товарооборот на один магазин в первой группе 470 млн. руб., во второй – 641,67 млн. руб., в третьей – 797,14 млн. руб., в четвертой – 938,57 млн. руб., в пятой – 1100 млн. руб., в шестой – 1233,33 млн. руб.

Численность работников в первой группе 215 чел., во второй – 259 чел., в третьей – 309 чел., в четвертой – 267 чел., в пятой – 72 чел., в шестой – 81 чел. Среднесписочная численность работников на 1 магазин в первой группе 43 чел., во второй – 43,17 чел., в третьей – 44,14 чел., в четвертой – 38,14 чел., в пятой – 36 чел., в шестой – 27 чел.

Относительные и абсолютные величины

Задание 1

За отчетный период предприятие выработало мыла и моющих средств по видам:

Определите:

1) общий объем произведенной предприятием продукции в условно-натуральных единицах, приняв за условную единицу мыло 40%-ной жирности;

2) относительную величину задания по объему продукции на предстоящий период, если плановое задание на будущий период рассчитано в объеме 6650 кг в условной жирности.

Решение:

Общий объем производства мыла и моющих средств в 40-% исчислении составил 6330 кг.

Относительная величина планового задания определяется как отношение планового задания на будущий период к фактической величине показателя в предыдущем периоде.

Плановое задание на будущее – 6650 кг, фактическое значение предыдущего периода – 6330 кг. Следовательно, относительная величина планового задания составит:

Таким образом, планируется увеличить объем производства мыла и моющих средств в 40-% исчислении на 5,06%.

Вывод: Общий объем производства мыла и моющих средств в 40-% исчислении составил 6330 кг. В будущем периоде планируется увеличить объем производства мыла и моющих средств в 40-% исчислении на 5,06%.

Задание 2

Данные об обороте магазина за два периода (тыс. руб.):

Определите по товарным группам и в целом по магазину относительные показатели:

1) планового задания;

2) выполнения плана;

3) динамики;

4) структуры (по плану и фактически за отчетный период).

Сделайте выводы.

Решение:

Рассмотрим каждый из относительных показателей.

1. Относительная величина планового задания (ОППЗ) характеризует отношение планируемого уровня показателя к фактически достигнутому уровню того периода, по сравнению с которым намечается увеличение или уменьшение показателя и рассчитывается по формуле:

ОППЗ используются при перспективном планировании деятельности, а также для сравнения достигнутых результатов с ранее намеченными.

Определим величину планового задания для каждой товарной группы и в целом по магазину.

Таким образом, в базисном периоде фирма планировала увеличить оборот магазина по продовольственным товарам на 1,67% по сравнению с фактическим товарооборотом; снизить товарооборот по непродовольственным товарам на 7,14% (92,86 – 100 = 7,14) и снизить товарооборот в целом по магазину на 3,08%.

2. Относительные показатели выполнения плана (ОПВП) используются для контроля за ходом выполнения планов и показывают соотношение между фактическими и плановыми уровнями показателя:

Определим величину выполнения плана для каждой товарной группы и в целом по магазину.

Таким образом, фирма перевыполнила план по оборот магазина по продовольственным товарам на 3,28%; при этом план по товарооборот по непродовольственным товарам не выполнен на 1,54% (98,46 – 100 = 1,54). План в целом по магазину перевыполнен на 0,79%.

3. Относительные показатели структуры (ОПС) характеризуют составные части изучаемой совокупности.

Относительные величины структуры обычно называют удельными весами. Сумма относительных величин изучаемой совокупности всегда равна 100% или 1 (в зависимости от того, в чем она выражается). Они применяются при изучении сложных явлений, распадающихся на ряд групп или частей, для характеристики удельного веса каждой группы в общем итоге.

Рассчитаем структуру оборота отчетного периода по плану и фактически:

Таким образом, по плану доля продовольственных товаров должна была составить 48,41%, а непродовольственных – 51,59%. Фактически доля продовольственных товаров составила 49,61%, а непродовольственных – 50,39%.

4. Относительные показатели динамики (ОПД) или темпы роста – показатели, характеризующие изменение величины общественных явлений во времени. Этот вид статистических абсолютных величин широко применяется в планировании, анализе и статистике и рассчитывается по формуле 5.7.

(5.7)

Если за базу сравнения принимается предшествующий показатель, то говорят о цепных ОПД, если за базу сравнения взять базисный (один и тот же) показатель – то речь идет о базисных ОПД.

Выбор базы сравнения имеет существенное значение. Особенно тщательно следует подходить к выбору постоянной базы, принимая за неё наиболее стабильный период либо среднее значение за определенный промежуток времени.

В данном случае показатель динамики может быть рассчитан для фактических показателей базисного и отчетного периодов.

Таким образом, товарооборот по продовольственным товарам увеличился на 5%, товарооборот непродовольственных товаров снизился на 8,57% (91,43-100=-8,57%). В целом по предприятию товарооборот снизился на 2,31%

Ряды динамики

Используя базу данных Федеральной службы государственной статистики, постройте ряд динамики за последние 8-10 лет по любому из показателей. Проанализируйте данные. Для этого:

1) определите все возможные цепные, базисные и средние показатели анализа ряда динамики;

2) произведите сглаживание уровней временного ряда методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания (интервал укрупнения и период скольжения определите самостоятельно).

Сделайте выводы.

Решение:

Проанализируем динамику экспорта в России по данным представленным в таблице.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: