ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Уpавнение бегущей волны
Для вывода уравнения бегущей волны используем рис. 3.3, на котором показано положение фронта плоской волны в разные моменты времени.
Рис. 3.3
В момент времени t все частицы, лежащие на фронте волны, колеблются согласно уравнению x = А cos(w t), где x – смещение частицы от положения равновесия. Через время t фронт сместится на расстояние х, колебания частиц среды в новом положении будут запаздывать по времени на величину tотносительно прежнего положения и описываться уравнением x = А cos w (t -t), где t = х /u. Тогда
x (х, t) = А cos w (t - х/u) = А cos (w t -w × х/u). (3.3)
Для характеристики волн используется волновое число k: (3.4) В общем случае с учетом (3.4) уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид x х,t = А cos (w t - kх + j0), (3.5)
где А – амплитуда волны; j0 – начальная фаза волны, определяемая началом отсчета х и t; (w t - k х + j0) – фаза плоской волны. Уравнение волны, распространяющейся в направлении, противоположном оси х, имеет вид
x х,t = А cos (w t + kх + j0).
В уравнении волны x зависит от двух переменных t и х, так как волна – процесс периодический во времени и пространстве. Если в уpавнениях (3.3, 3.5) зафиксиpовать t и менять х, то можно построить график плоской гармонической бегущей волны (мгновенный снимок волны), распространяющейся со скоростью u вдоль оси х (рис. 3.4). Он отражает зависимость смещения частиц среды x от расстояния х этих частиц (например, частицы А) до источника колебаний, расположенного в точке x = 0. Показана длина волны l как кратчайшее расстояние между точками, имеющими одинаковые фазы колебаний.
Рис. 3.4 В следующий момент вpемени t + D t весь гpафик (пунктир на рис. 3.5) смещается впpаво или влево относительно начала кооpдинат в зависимости от напpавления pаспpостpанения колебаний.
Если зафиксируем x, то получим гpафик колебания точки, находящейся на pасстоянии x от источника колебаний (pис. 3. 6). Сравним графики на рис. 3.4 и 3.6. Они похожи формально, но различны по существу: график x (х) волны отражает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени; график x(t) колебания – зависимость смещения данной частицы от времени.
При фиксированном значении х уравнение волны (3.5) становится уравнением колебания x(t) = А cos (w t + j) с начальной фазой j = - kx + j0., откуда видно, что начальная фаза колебаний и вся фаза в целом зависит от расстояния х точки до источника колебаний. Поэтому Dj, разность фаз колебаний двух точек, находящихся на расстояниях х 1 и х 2 от источника колебаний, определяется выражением (по модулю)
Dj = k (x 2 - x 1) = k D x. (3.6)
П р и м е р 1. Звуковые волны распространяются в воздухе со скоростью 340 м/с. Частота колебаний частиц воздуха равна 170 Гц, их максимальное отклонение от положения равновесия равно 0,3 мм. Найти длину волны, записать уравнение волны, построить ее график. Р е ш е н и е. Длина волны l = u × Т = = u /n, l= 340/170 = 2 м. Для записи уравнения волны в виде x (х, t) = = А cos(w t - kх) определим w = 2pn = 2p∙170 = =340p с-1, k = 2p/l = =2p/2 = p м-1. Получим уравнение волны x (х, t) = 3×10-4 cos (340p t - p х) м и ее график (рис. 3.7). П р и м е р 2. Уравнение плоской бегущей волны имеет вид x (х, t) = 0,1cos (p t /2 -p x /20) м. Нужно: 1) определить длину волны; 2) найти разность фаз колебаний двух точек 1 и 2, находящихся от источника колебаний на расстояниях, соответственно, 20 и 60 м; 3) записать уравнение колебаний точки 1 и построить график этих колебаний Р е ш е н и е. Длину волны найдем через волновое число в уравнении волны: k = 2p/l = p/20 м-1; 2/l =1/20; l = 40 м. Для определения разности фаз колебаний используем формулу (3.6):
Dj = p(60 - 20) / 20 = 2p.
Подставим в уравнение волны координату точки 1, получим уравнение колебаний x (t) = 0,1cos (p t /2 - p) м.
Для построения графика (рис. 3.8) амплитуду колебаний берем из условия задачи, период колебаний определяем через циклическую частоту: Т = 2p/w, т.е. Т = 2p/(p/2) = 4 с.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|