Практическая работа 5. Применение системы компьютерной алгебры Maxima к расчету и анализу процессов теплообмена

5.1 Система компьютерной алгебры Maxima

Рассмотрим различные команды в Maxima. Любая команда завершается знаком «;». Чтобы выполнить команду, необходимо нажать сочетание клавиш «Shift+Enter». После выполнения команды она сама и ее результат отмечаются символами (%i1) и (%o1), означающими ввод (input) и вывод (output). Все команды нумеруются.

Простые арифметические операции выполняются следующим образом:

(%i1) 2+2;

(%o1) 4

(%i2) 2+2*2;

(%o2) 6

(%i3) 5!;

(%o3) 120

Для выполнения действий над результатом предыдущей команды используется ссылка на него в виде %:

(%i1) 2+2;

(%o1) 4

(%i2) %+3;

(%o2) 5

Maxima поддерживает работу с выражениями в символьном виде:

(%i1) x^2+3;

(%o1) x²+3

(%i2) %+2*x^2;

(%o2) 3x²+3

Упрощение выражений в Maxima выполняется по умолчанию. Когда это необходимо отметить особо, используют команду ratsimp (рис. 5.1):

Рис. 5.1. Пример применения команды ratsimp

Для решения простых уравнений и их систем используется команда solve (рис. 5.2):

Рис. 5.2. Пример применения команды solve

Для вывода графиков может быть использована команда plot2d. Для ее использования необходимо указать функцию и пределы построения графика по осям. Например, plot2d(sin(x),[x,0,10]); дает результат, представленный на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Пример применения команды plot2d

Для вывода на график дискретных значений используется опция discrete в команде plot2d. Например, plot2d([discrete, [0,1,2,3,4], [20,10,8,11]]); дает результат, представленный на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Пример применения команды plot2d для дискретных значений

5.2 Расчет теплопередачи через многослойную стенку

Рассмотрим следующую задачу расчета теплопередачи через многослойную стенку (рис. 5.5). Пусть с одной стороны многослойной стенки имеется тепловой поток q. Стенка состоит из трех слоев, каждый из которых имеет характеристики толщины δ и теплопроводности λ. На границах слоев стенки выделим характерные точки, в которых будем контролировать температуры t₁..t₄. С другой стороны стенка имеет конвективный теплообмен с окружающей средой с температурой t₅.

Рис. 5.5. Расчетная схема задачи

Для решения задачи теплопередачи через многослойную стенку запишем основные уравнения. Каждое из первых трех уравнений характеризует тепловой поток, идущий через один слой стенки. Последнее уравнение характеризует тепловой поток, отданный от стенки в окружающую среду.

(5.1)

В этих уравнениях λ – теплопроводность материала стенки, δ – толщина стенки, q– удельный тепловой поток, α – коэффициент конвективной теплоотдачи, t– температура в конкретной точке системы, 1..4 – характерные сечения на границах стенок.

Рассмотрим задачу в следующей постановке: известны все теплофизические свойства слоев и их толщина, коэффициент теплоотдачи. Необходимо определить распределение температур по толщине стенки. Для решения такой задачи надо задать два граничных условия: величину удельного теплового потока qи температуру окружающей среды t₅.

В качестве исходных примем данные из таблицы 5.1.

Таблица 5.1. Исходные данные для задачи

В результате получится система уравнений:

(5.2)

Решение системы в Maxima представлено на рис. 5.6.

Рис. 5.6. Решение системы уравнений в Maxima

По умолчанию Maxima проводит вычисления с дробями. Поэтому и решение представленной системы (%o7) представлено в виде дробей. Для того, чтобы получить результат в формате чисел с плавающей точкой, была использована команда float(в меню «Численные расчеты» - «Tofloat»).

Построим график распределения температур по толщине стенки. К сожалению, напрямую обратиться к значению t₁..t₄ мы не сможем – эти обозначения действительны только в пределах уравнений eq1..eq4. Для построения графика значения температур придется переписывать в функцию вручную. Толщины слоев стенки зададим в миллиметрах. Общая толщина стенки 60 мм (10 мм + 20 мм + 30 мм). В результате получим команду:

plot2d([discrete, [0,10,30,60], [22.43,22.40,22.3,t1]]);

Распределение температур по толщине стенки представлено на рис. 5.7.

Рис. 5.7. Распределение температур по толщине стенки

5.3 Задание

Для заданного варианта из таблицы 5.2:

- определить температуры на границах слоев,

- построить график распределения температур по толщине стенки,

- исследовать зависимость изменения профиля температуры от изменения исходных данных,

- определить, какой из слоев обладает наибольшим/наименьшим термическим сопротивлением.

Теплопроводность материалов брать из таблицы 5.3.

Таблица 5.2. Задание для практической работы 5

Таблица 5.3. Теплопроводность материалов

Контрольные вопросы:

1. Решение алгебраических уравнений в Maxima.

2. Построение графиков в Maxima.

3. Постановка задачи теплопередачи через многослойную стенку.

4. Основные уравнения для расчета теплопередачи через многослойную стенку.

5. Порядок расчета теплопередачи через многослойную стенку с использованием Maxima.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: