Метод контурных токов

Этот метод расчета основан на том, что действительный (истинный) ток в любой ветви, входящей в несколько контуров (например, на рис.1 ветвь с сопротивлением R₅ входит в контур абе и в контур бвде), можно представить в виде алгебраической суммы токов, каждый из которых замыкается по своему контуру.

Исходя из этого, сложную цепь можно разбить на ряд контуров и считать, что в каждой ветви данного контура протекает одинаковый ток. Этот ток называют контурным. Направление его выбирают произвольно. Контурные токи и будут теми неизвестными, которые нужно определить. Зная значения и направления контурных токов, можно определить действительный ток в каждой ветви цепи:

a) ток в ветви, входящий в данный контур, равен контурному току;

b) ток в ветви, входящий в несколько контуров, равен алгебраической сумме контурных токов.

Как определить контурные токи? Для каждого контура составляют уравнения по второму закону Кирхгофа, причем при составлении уравнений контур обходят по направлению контурного тока. При этом необходимо учитывать падение напряжения в смежной с другим контуром ветви от контурного тока смежного контура. Это падение напряжения будет положительным, если направление контурного тока в смежном контуре совпадает с направлением обхода данного контура и отрицательным, если направление контурного тока не совпадает с направлением обхода.

Значение э.д.с. берется со знаком плюс, если направление обхода контура совпадает с направлением действия э.д.с., и со знаком минус – если не совпадает.

При выборе контуров руководствуются следующим:

1. контуры должны быть независимы, т.е. каждый из них должен иметь ветвь, не входящую в другой контур. Число независимых контуров можно определить по уравнению

N=b-y+1 (1.33)

где b – число ветвей;

y – число узлов;

1. для расчета удобнее выбирать контуры с минимальным числом ветвей.

На примере расчета цепи, представленной на рис.1, поясним сказанное выше.

1. Разбиваем цепь на N независимых контуров (N=3): абе, бвде, вгд.
2. Выбираем произвольно направления контурных токов во всех контурах по часовой стрелке, обозначив контурные токи:

1-й контур – I₁₁,

2-й контур – I₂₂,

3-й контур – I₃₃.

1. Составляем для каждого контура уравнения по 2-му закону Кирхгофа, приняв обход контура по направлению контурных токов.

1-й контур:

2-й контур:

=

=

(1)

3-й контур:

1. Решая совместно полученную систему уравнений (1), находим значения контурных токов I₁₁, I₂₂, I₃₃.
2. Определяем значения и направления действительных токов в ветвях (рекомендуется начертить схему рис.1 и указать действительное направление токов в ветвях). Если значение контурного тока получится отрицательным, это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному. Действительные токи схемы рис.1 будут иметь значения:

I₁=I₁₁, I₂=I₂₂, I₃=I₃₃, I₄=I₂₂, I₅=I₁₁-I₂₂, I₆=I₂₂-I₃₃.

Для решения системы уравнений, составленной по второму закону Кирхгофа, целесообразно применить метод определителей. Тогда в общем виде эта система уравнений записывается следующим образом:

(2)

и т.д.

Поясним смысл каждого члена уравнений.

a) В левой части каждого уравнения стоят суммарные значения э.д.с., входящие в контур. Они имеют знак плюс, если направление обхода контура и направление действия суммарной э.д.с. совпадают. Для цепи на рис.1:

E₁₁=E₁, E₂₂=0, E₃₃=-E₂

b) Сопротивление R₁₁, R₂₂, R₃₃ – собственные сопротивления I, II, III контуров соответственно.

Собственные сопротивления контуров для цепи на рис.1:

R₁₁=R₁+R₅,

R₂₂=R₂+R₅+R₄+R₆,

R₃₃=R₃+R₆

c) Сопротивления R₁₂, R₂₁, R₁₃, R₃₁ и т.п. – общие или смежные сопротивления контуров. Смежное (общее) сопротивление представляет собой сопротивление ветви, входящей в несколько контуров. Его обозначают с индексом, состоящим из номеров контуров, в которые входит ветвь. Для цепи на рис.1 смежные сопротивления:

для I контура R₁₂,

для II контура R₂₁,

для II контура R₂₃,

для III контура R₃₂.

Если через общее сопротивление контурные токи смежных контуров протекают в разных направлениях, в уравнение (2) такое общее сопротивление ставится со знаком минус.

В цепи на рис.1 через все смежные сопротивления токи текут в разных направлениях и в этом случае принимают, что R₁₂=R₂₁=-R₅; R₂₃=R₂₃=-R₆.

Для составления определителя необходимо, чтобы все уравнения имели одинаковое число членов. В правую часть каждого уравнения записываются произведения всех контурных токов на соответствующие сопротивления, а в случае, если это сопротивление не входит в рассматриваемый контур, его принимают равным нулю. Составим уравнения для 3-х контуров на рис.1, учитывая сделанные замечания.

(3)

Если в эти уравнения поставить значения каждого члена и учесть сказанное о знаках, получим уравнение (1).

Покажем, как решается система уравнений (2) методом определителей.

Ток К-го контура равен

(4)

где - главный определитель (детерминант);

- частный определитель К – го столбца

(5)

Каждый частный определитель получается путем замены в главном определителе сопротивлений К – го столбца на соответствующие э.д.с.

Например, если определяется ток I – го контура, частный определитель будет иметь вид

(6)

При расчете цепи методом контурных токов можно не составлять уравнения по 2 – ому закону Кирхгофа, а достаточно составить определители по уравнениям (5), (6) и по уравнению (5) рассчитать контурные токи.

При составлении определителей нельзя забывать о знаках перед членами определителя (перед э.д.с. ставят знак минус, если направление обхода и направление действия э.д.с. не совпадают, перед общими сопротивлениями ставят знак минус, если контурные токи тех контуров, в которые входят эти сопротивления, направлены в разные стороны).

Метод наложения

Метод наложения основан на принципе независимости действия э.д.с. Согласно этому принципу токи, протекающие в цепи при наличии нескольких э.д.с., можно представить как алгебраическую сумму токов, создаваемых каждой из э.д.с. в отдельности.

Вначале определяются значения токов в ветвях, создаваемых действием только одного источника (например, для рис.1 I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆ от Е₁, полагая Е₂=0). Затем таким же образом определяют токи в ветвях, создаваемые действием другого источника (например, для рис.1 токи I₁^//, I₂^//, I₃^//, I₄^//, I₅^//, I₆^// от Е₂, полагая Е₁=0). Затем находятся действительные токи в ветвях, как алгебраические суммы токов, создаваемые в одних и тех же ветвях отдельными источниками.

Рассмотрим порядок определения токов, создаваемых отдельными э.д.с. на примере схемы рис.1. Вначале находятся токи в ветвях и их направления при действии только одной э.д.с., например, Е₁, когда Е₂=0. Для этого определяется общее сопротивление цепи R^/_общ (внутренним сопротивлением источника э.д.с. Е₂ пренебрегаем).

; ;

После этого определяются токи в ветвях схемы рис.1 при действии только э.д.с. Е₁, а именно:

;

;

;

;

.

Затем составляется схема рис.1 при действии Е₂(Е₁=0, внутреннее сопротивление источника э.д.с. пренебрегаем) и наносятся направления токов I₁^//, I₂^//, I₃^//, I₄^//, I₅^//, I₆^//.

Аналогично вышеизложенному рассчитываются токи, создаваемые действием источника Е₂. Действительные токи в ветвях определяются как алгебраическая сумма составляющих токов, проходящих через соответствующие ветви:

; и т.д.

Составляется третья схема, на которой наносится направления действительных токов. Направление действительных токов в ветвях выбирается по большему составляющему току в каждой цепи.

Пример расчета линейной цепи методом контурных токов.

Найти токи в схеме рис.2. Численные значения сопротивлений и э.д.с. указаны на рисунке.

Решение.

В этой схеме два независимых контура I и II (N=3-2+1). Выбираем произвольно направление контурных токов I₁₁ и II₂₂ по часовой стрелке.

Система уравнений согласно второму закону Кирхгофа для данной цепи запишется в следующем виде:

Определяем собственные сопротивления контуров:

=4+10+6=20 Ом

=8+2+10=20 Ом

Сопротивление смежной ветви R₁₂=R₂₁=-r₄. Внутренними сопротивлениями источников пренебрегаем. Контурные э.д.с. равны: E₁₁=E₁=21 B, E₂₂=-E₂=-15 B. Перед э.д.с. E₂ знак минус, так как направление обхода контура не совпадает с положительным направлением действия э.д.с.

При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа направление обхода контуров принимаем совпадающим с направлением контурных токов.

В соответствии с численными значениями, полученными для R₁₁, R₁₂, R₂₁, R₂₂, E₁₁ и E₂₂, с учетом знаков уравнения перепишутся следующим образом:

Главный определитель системы равен:

Контурные токи I₁₁ и I₂₂ будут равны:

,

.

После подсчета контурных токов определяются действительные токи в ветвях:

I₁=I₅=I₁₁=0,9A; I₂=I₃=I₂₂=-0,3A; I₄=I₁₁-I₂₂=1,2A

Значение контурного тока I₂₂ получилось отрицательным, поэтому истинное направление его будет обратным принятому на рис.2.

Истинные направления токов во всех ветвях показаны стрелками на рис.3.

Пример расчета линейной цепи методом наложения. Найти этим методом токи в ветвях схемы рис.2.

Решение. Исключаем из схемы э.д.с. E₂. При действии в схеме рис.2 одной э.д.с. E₁ примем, что токи будут иметь направления, как указано на рис.4.

Для схемы рис.4 находим общее сопротивление цепи (внутреннее сопротивление источников э.д.с. E₁ и E₂ принимаем равными нулю).

= Ом

Затем находим токи в ветвях схемы рис.4 от действий только э.д.с. E₁.

;

;

Полагая э.д.с. E₁=0, находим направления и значения токов в ветвях схемы от действия э.д.с. E₂.

;

;

;

.

Действительные токи в ветвях определяются алгебраическим сложением составляющих токов ветвей. Направления действительных токов в ветвях определяются по большей составляющей тока каждой ветви.

Итак, для схемы рис.2 действительные токи в ветвях будут равны:

;

;

;

;

.

Таким образом, накладывая схему рис.4 на схему рис.5 получим схему рис.6 с действительными значениями и направлениями токов в ветвях при одновременном действии двух источников э.д.с E₁ и E₂.

Следует отметить, что при расчете более сложной электрической цепи, общее сопротивление эквивалентной схеме более удобно определить, разбивая всю схему, начиная со стороны противоположной действию источника э.д.с., на ряд участков, заключенных между соответствующими узлами.

Решение.

В этой схеме два независимых контура I и II (N=3-2+1). Выбираем произвольно направление контурных токов I₁₁ и II₂₂ по часовой стрелке.

Система уравнений согласно второму закону Кирхгофа для данной цепи запишется в следующем виде:

Определяем собственные сопротивления контуров:

=4+10+6=20 Ом

=8+2+10=20 Ом

Сопротивление смежной ветви R₁₂=R₂₁=-r₄. Внутренними сопротивлениями источников пренебрегаем. Контурные э.д.с. равны: E₁₁=E₁=21 B, E₂₂=-E₂=-15 B. Перед э.д.с. E₂ знак минус, так как направление обхода контура не совпадает с положительным направлением действия э.д.с.

При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа направление обхода контуров принимаем совпадающим с направлением контурных токов.

В соответствии с численными значениями, полученными для R₁₁, R₁₂, R₂₁, R₂₂, E₁₁ и E₂₂, с учетом знаков уравнения перепишутся следующим образом:

Главный определитель системы равен:

Контурные токи I₁₁ и I₂₂ будут равны:

,

.

После подсчета контурных токов определяются действительные токи в ветвях:

I₁=I₅=I₁₁=0,9A; I₂=I₃=I₂₂=-0,3A; I₄=I₁₁-I₂₂=1,2A

Значение контурного тока I₂₂ получилось отрицательным, поэтому истинное направление его будет обратным принятому на рис.2.

Истинные направления токов во всех ветвях показаны стрелками на рис.3.

Пример расчета линейной цепи методом наложения. Найти этим методом токи в ветвях схемы рис.2.

Решение. Исключаем из схемы э.д.с. E₂. При действии в схеме рис.2 одной э.д.с. E₁ примем, что токи будут иметь направления, как указано на рис.4.

Для схемы рис.4 находим общее сопротивление цепи (внутреннее сопротивление источников э.д.с. E₁ и E₂ принимаем равными нулю).

Затем находим токи в ветвях схемы рис.4 от действий только э.д.с. E₁.

;

;

Полагая э.д.с. E₁=0, находим направления и значения токов в ветвях схемы от действия э.д.с. E₂.

;

;

;

.

Действительные токи в ветвях определяются алгебраическим сложением составляющих токов ветвей. Направления действительных токов в ветвях определяются по большей составляющей тока каждой ветви.

Итак, для схемы рис.2 действительные токи в ветвях будут равны:

;

;

;

;

.

Таким образом, накладывая схему рис.4 на схему рис.5 получим схему рис.6 с действительными значениями и направлениями токов в ветвях при одновременном действии двух источников э.д.с E₁ и E₂.

Следует отметить, что при расчете более сложной электрической цепи, общее сопротивление эквивалентной схеме более удобно определить, разбивая всю схему, начиная со стороны противоположной действию источника э.д.с., на ряд участков, заключенных между соответствующими узлами.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: