Метод парных сравнений

Метод парных сравнений позволяет не только ранжировать (упорядочить) объекты по некоторому критерию, но также рассчитать числовые значения их относительной значимости. Метод заключается в заполнении матрицы парных сравнений A, которая для объектов M ₁, M ₂, … M_n имеет вид:

	M 1	M 2	…	Mn
M 1		a 12	…	a 1 n
M 2			…	a 2 n
…	…	…	…	…
Mn			…

Значения элементов a_ij матрицы определяются по шкале относительной важности (таблица 1) в зависимости от соотношения элементов M_i и M_j: если элемент M_i превосходит M_j, в i -ю строку и j -й столбец матрицы заносится целое число, а в j -ю строку и i -й столбец – обратное к нему число.

Матрица парных сравнений – обратно симметричная. Диагональ матрицы состоит из единиц.

Таблица 1 - Шкала относительной важности элементов

Например, при сравнении площади трех объектов, представленных на рисунке, матрица может иметь следующий вид. Здесь эксперт оценил превосходство объекта M ₃ над двумя другими объектами равными значениями (9), посчитав, что различием можно пренебречь:

	M 1	M 2	M 3
M 1			1/9
M 2	1/3		1/9
M 3

Коэффициенты важности объектов рассчитываются как средние геометрические по каждой строке матрицы (b_i), а затем нормализуются (w_i), чтобы в сумме давать единицу:

; .

В рассмотренном примере:

; ; ;

; ; .

Проверка согласованности. Основная сложность при построении матрицы парных сравнений – обеспечение транзитивности суждений: если M ₁ > M ₂ и M ₂ > M ₃, должно выполняться M ₁ > M ₃. Иначе суждения не транзитивны, и матрица не согласована.

Индекс согласованности матрицы определяется как

ИС = (l_max – n)/(n – 1),

где l_max – максимальное собственное значение матрицы[†], n – количество сравниваемых объектов. Максимальное собственное значение матрицы можно оценить по формуле:

, где , т.е. .

В рассмотренном примере

,

;

индекс согласованности .

Полученное значение индекса согласованности сопоставляется с табличным значением K – средним значением согласованности, рассчитанным для множества случайных матриц (таблица 2). Для согласованной матрицы отношение ОС = ИС / К не должно превышать значение 0,1. В противном случае считается, что матрица не согласована.

Таблица 2 – Средние значения согласованности случайных матриц

Для рассмотренного примера отношение значений согласованности

, что незначительно больше 0,1.

Если уточнить исходную матрицу сравнений и учесть разницу в соотношениях между объектами M ₃- M ₁ и M ₃- M ₂ (таблица 3), значение индекса согласованности улучшится: ИС = 0,055, ОС = 0,094 < 0,1.

Таблица 3 – Уточненная матрица сравнений

[*] Покупательная способность показывает, сколько товаров потребитель может купить на определённую сумму при существующем уровне цен

[†]Собственное значение квадратной матрицы – это такое число l, для которого существует вектор x (собственный вектор), такой что выполняется Ax = l x. У матрицы размером n ´ n существует ровно n собственных значений.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: