Раздел 2. Использование регрессионного анализа для получения математических моделей

К задачам регрессионного анализа относятся:

• определение формы зависимости между признаками;
• оценка параметров уравнения регрессии и статистической зна­чимости как уравнения в целом, так и его параметров;
• прогнозирование значений результативного признака;
• содержательное аналитическое описание исследуемых явлений, выявление причинно-следственных связей между ними.

Исходными данными в регрессионном анализе служат эмпи­рические значения (х_i, у_i), i = 1, 2,..., n, где у_i – значение результата при значении фактора х_i.

Парная регрессионная модельможет быть представлена в виде:

, ()

где e – некоторая случайная величина, отражающая как влияние фак­торов, не включенных в уравнение регрессии, так и изменчивость опи­сываемых явлений, а также ошибки измерений.

Модель () называют также простой регрессией.Она описы­вает изменение среднего значения результирующего признака У в зависимости от вариации фактора X. Регрессионный анализ на­правлен на исследование односторонней зависимости результатив­ного признака У от факторного признака X.

Включение в регрессионную модель случайной составляющей обусловлено следующими причинами:

· любая модель представляет собой упрощение описываемых явлений;

· ограниченный характер исходной статистической информации;

· недостаточная изученность исследуемых процессов;

· неоднозначность выбора функциональной зависимости;

· сложные зависимости между факторами;

· ошибки измерений;

· человеческий фактор (и в исследуемых явлениях, и в модели­ровании) и др.

Укажем на следующие названия, используемые различными авторами:

у – результат, отклик, зависимая переменная, выходной параметр;

х – фактор, независимая переменная, входной фактор;

e – отклонение, остаток, ошибка, случайная со­ставляющая.

Подставляя в (8.1) эмпирические данные, получаем

. ()

Коэффициент корреляции. Связь между признаками может «располагаться» в диапазоне от независимости до функциональной зависимости. Чем «ближе» корреляционная зависимость к некоторой функ­циональной зависимости, тем теснее связь между исследуемыми признаками.

Корреляционные связи – это не полные связи, т.е. можно ска­зать, что У не на все 100% зависит от X. А на какую же величину вариация У определяется колебаниями X? Определить это и выразить количественно в статистике помогают различные показатели, выявляющие тесноту корреляционной связи.

Для правильного определения тесноты корреляционной связи необходимо, прежде всего, установить между признаками наличие причинной зависимости. Эта задача решается путем каче­ственного Х и У, материального анализа исследуемых процессов и явле­ний.

Теснота линейной корреляционной связи между факторны­ми и результативными признаками может исчисляться с помо­щью линейного коэффициента корреляции r_ух. На его ос­нове исчисляют коэффициент детерминации, равный квадрату коэффициента корреляции . Коэффициент детерминации показывает, какую долю общей дисперсии результативного при­знака составляет дисперсия, обусловленная влиянием изучаемо­го фактора. Например, если для корреляционной связи между производительностью оборудования и энерговооруженностью r = 0,8, то = 0,64, или 64%, то данная зависимость на 64 % объясняет вариацию урожайности количеством выпавших осадков. Величина 1 – r² является коэффициентом остаточной детерминации и характери­зует долю вариации за счет неучтенных факторов. В данном при­мере 1 – r² = 0,36 означает, что на долю остальных факторов, влияющих на производительность, приходится 36% вариации резуль­тативного признака.

Коэффициент корреляции определяется по формуле:

,

где х_i – значение признака-фактора Х (независимой переменной);

y_j – значение коррелируемого с фактором X признака У;

n – число пар сопоставляемых значений признаков;

и — выборочные дисперсии признаков Х и У соответственно.

Если вынести за скобки s_х и s_у, как величины постоянные для данных рядов, то получим следующую формулу линейного коэффициента корреляции:

_/

Данную формулу можно преобразовать в такую:

. ()

Примечание. В представленных ниже задачах необходимо: а) построить эмпирические линии регрессии; б) оценить тесноту связи между переменными с помощью коэффициента корреляции; проверить значимость коэффициента корреляции; г) на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о линейной корреляционной зависимости между переменными X и Y.

Задание 4. Найти коэффициент корреляции между производительностью труда Y (тыс. руб.) и энерговооруженностью труда X (кВт) (в расчете на одного работающего) для 14 предприятий региона по следующим данным:

Задание 5. Распределение 50 гастрономических магазинов по уровню издержек обращения X (%) и годовому объему товарооборота Y (млн. руб.) представлено в таблице:

Необходимо: а) построить эмпирическую линию регрессии; б) выровнять полученную зависимость по прямой и гиперболе; в) оценить тесноту связи между переменными.

Задание 6. Р аспределение 60-ти предприятий приборостроительной промышленности по энерговооруженности труда Y (кВт*час) и фондовооруженности X (млн. руб.) дано в таблице.

Необходимо: а) построить эмпирическую линию регрессии; б) оценить тесноту связи между переменными.

Задание 7. Имеются следующие данные по выработке литья под давлением (при получении пластмассовых деталей) на одного работающего Х₁ (т), браке литья под давлением Х₂ (%) и себестоимости одной тонны литья Y (руб) по 25 предприятиям.

Найти уравнение множественной регрессии.

Задание 8. В таблице даны измерения веса выпускаемого кондитерского изделия. Мин значение допуска 20, максимально 40. Построить распределение. Оценить его характеристики.

Задание 9. При измерении веса шоколадных батончиков с номинальным весом 50 гр получены следующие значения. Допустимые отклонения от номинала 10%. Построить распределение. Оценить его характеристики.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: