Перед решением каждой задачи надо полностью выписать её условие.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Рабочая программа и контрольные задания для студентов

заочного факультета

Часть 2

Петрозаводск, 2016

Студенты специальности «Эксплуатация железных дорог» (УПП, УПГ, УПК) выполняют контрольные работы № 3, 4.

Контрольная работа №3 (дифференциальное исчисление функции одной переменной) состоит из 6-и задач:

1-10, 11-20, 21-30, 31-40, 41-50, 51-60

Контрольная работа №4 (дифференциальное исчисление функции нескольких переменных и комплексные числа) состоит из 4-х задач:

61-70, 71-80, 81-90, 91-100

Правила выполнения и оформления контрольных работ

1. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. В конце работы должна быть оставлена чистая страница для развернутой рецензии.

2. На обложке тетради должны быть ясно написаны: фамилия студента и его инициалы, учебный шифр, название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать дату отсылки (сдачи) работы в университет и адрес студента.

3. Из предложенного задания студент должен выполнить задачи, у которых две последних цифры номера совпадают с последними цифрами шифра. Например, для студента имеющего шифр 14-УПП-4213, контрольная работа может содержать задачи №13, 23, 33 и т.д.

4. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта не рецензируются.

5. Решения задач следует располагать в порядке возрастания номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

Перед решением каждой задачи надо полностью выписать её условие.

7. Решение задач следует приводить подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя по ходу решения свои действия.

8. Получив контрольную работу после проверки, студент должен в этой же тетради ниже сделать работу над ошибками, руководствуясь замечаниями рецензента. Если контрольная работа не была зачтена, её необходимо сдать на повторную проверку.

9. Студент может сдавать экзамен только при наличии у него всех контрольных работ, предусмотренных учебным планом, с выводом рецензента «допущена к защите» или «допущена к защите условно».

10. На экзамене студент, кроме ответов на теоретические вопросы, защищает свои контрольные работы, отвечая на вопросы рецензентов и решая аналогичные задания.

11. Если рецензент установил, что работа выполнена несамостоятельно, студенту выдается новое индивидуальное задание.

12. Контрольная работа должна поступить в университет для проверки не позднее, чем за 15 дней до экзамена. Работы сдаются в учебную часть или высылаются почтовой экспедицией по адресу: Петрозаводск, Мичуринская, 5, Петрозаводский филиал ПГУПС. В последнем случае следует сохранять черновики своих работ.

1-10. Найти пределы функций.

1. 2.

1) 1)

2) 2)

3) 3)

4) 4)

5) 5)

3. 4.

1) 1)

2) 2)

3) 3)

4) 4)

5) 5)

5. 6.

1) 1)

2) 2)

3) 3)

4) 4)

5) 5)

7. 8.

1) 1)

2) 2)

3) 3)

4) 4)

5) 5)

9. 10.

1) 1)

2) 2)

3) 3) ;

4) 4) ;

5) 5)

11–20. Найти производные функций.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21–30. Найти первую и вторую производные заданных функций.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31-40. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [ a; b ].

31. .

32. .

33. .

34. .

35. .

36. .

37. .

38. .

39. .

40. .

41–50. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51-60. Экспериментально получены пять значений функции при пяти значениях аргумента, записанных в таблицу. Методом наименьших квадратов найти функцию Y=ax+b наименее удаленную от заданных точек. Сделать чертеж, на котором изобразить найденную прямую и экспериментальные точки.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61-70. Даны функция и две точки А (x₀; y₀) b B (x₁; y₁). Требуется:

1) вычислить значение функции в точке В;

2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z₀ в точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;

3) оценить в процентах относительную погрешность, полученную при замене приращения функции её дифференциалом;

4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке С (x₀; y₀; z₀).

61. .

62. .

63. .

64. .

65. .

66. .

67. .

68. .

69. .

70. .

71-80. Найти частные производные первого и второго порядков для функции .

71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

81-90. Даны функция и точки М₁, М_{2 .} Требуется:

1) найти полный дифференциал функции dz и его значения в точке М₁;

2) найти градиент функции в точке М₂;

3) найти производную функции по направлению вектора ;

4) найти стационарные точки функции и определить тип экстремума в них, если таковой есть.

81. .

82. .

83. .

84. .

85. .

86. .

87. .

88. .

89. .

90. .

91-100. Даны комплексные числа z₁ и z₂. Требуется:

1) записать число z₁ в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изобразить это число на комплексной плоскости;

2) найти комплексные числа ; ;

3) найти все корни уравнения и изобразить эти решения на комплексной плоскости. Аргументы корней указать в градусах.

91. .

92. .

93. .

94. .

95. .

96. .

97. .

98. .

99. .

100. .

Вопросы к экзамену

1. Множества и операции над ними. Числовые множества. Кванторы.

2. Функции. Сложные и обратные функции, графики функций. Элементарные функции.

3. Пределы функций, свойства пределов, основные теоремы о пределах.

4. Замечательные пределы.

5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций.

6. Производная функции. Вывод. Определение.

7. Непрерывность и дифференцируемость.

8. Производная суммы функций. Формула.

9. Производная произведения функций. Формула.

10. Производная частного функций. Формула.

11. Геометрический смысл производной.

12. Механический смысл производной.

13. Таблица производных.

14. Дифференцирование сложной функции. Пример.

15. Дифференцирование неявной функции. Пример.

16. Дифференцирование показательно-степенной функции. Пример.

17. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Пример.

18. Дифференциал функции. Определение. Формулы.

19. Производные высших порядков. Определение. Пример.

20. Возрастание и убывание функции.

21. Экстремумы функции. Определение. Необходимое и достаточное условия экстремума.

22. Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость функции.

23. Асимптоты функции.

24. Алгоритм исследования функции.

25. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.

26. Функция нескольких переменных. Определение. Частные значения функции, геометрический смысл.

27. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции.

28. Частные производные функции двух переменных. Определение. Примеры.

29. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Пример.

30. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

31. Смешанные частные производные второго порядка.

32. Производная функции по направлению. Определение. Пример.

33. Градиент функции. Определение. Пример.

34. Экстремум функции нескольких переменных. Определение, необходимое и достаточное условия.

35. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных.

36. Касательная и нормаль к поверхности.

37. Комплексные числа. Определение и изображение комплексных чисел.

38. Противоположные и сопряжённые комплексные числа. Модуль и аргумент комплексных чисел.

39. Три формы записи комплексных чисел.

40. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

41. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

42. Действия над комплексными числами в показательной форме.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: