Предмет изучения арифметики

Введение

Арифметика - раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа в развитии представлений о нём и его свойствах.

В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая арифметика уделяет внимание определению и анализу понятия числа, в то время как формальная арифметика оперирует логическими построениями предикатов и аксиом. Арифметика является древнейшей и одной из основных математических наук, она тесно связана с алгеброй, геометрией и теорией чисел.

Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте, простейших измерениях и вычислениях. Наука развивалась вместе с усложнением задач, требующих решения. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности философы-пифагорейцы, пытавшиеся с помощью чисел постичь и описать все закономерности мира.

Объект нашей работы: арифметика, как раздел математики изучающий числа, их отношения и свойства.

Предмет: история арифметики.

Целью нашей работы является изучение исторических сведений о развитии арифметики.

Для выполнения поставленной цели нам необходимо решить следующие задачи:

- определить предмет изучения арифметики;

- изучить историю арифметики;

- рассмотреть этап механизации арифметических вычислений;

- проанализировать роль арифметики в образовании.

Теоретической и методологической базой для написания курсовой работы послужили литературные источники отечественных авторов по истории и методологии арифметики.

В ходе написания работы нами были проанализированы материалы научного, учебного характера, а также официальные электронные источники.

Предмет изучения арифметики

Предметом арифметики являются числовые множества, свойства чисел и действия над числами. К ней также относят вопросы, связанные с техникой счёта, измерениями, происхождением и развитием понятия числа.

Арифметика изучает натуральные и рациональные числа, или дроби. На основе аксиоматической структуры множества натуральных чисел осуществляется построение других числовых множеств, включая целые, действительные и комплексные числа, проводится их анализ. Иногда в рамках арифметики рассматривают также кватернионы и другие гиперкомплексные числа. Вместе с тем из теоремы Фробениуса следует, что расширение понятия числа за пределы комплексной плоскости без потери каких-либо его арифметических свойств невозможно.

К основным действиям над числами относят сложение, вычитание, умножение и деление, реже возведение в степень, извлечение корня и решение численных уравнений. Исторически список арифметических действий также включал собственно счёт, удвоение (помимо умножения), деление на два и деление с остатком (помимо деления), поиск суммы арифметической и геометрической прогрессий. Непер в своей книге "Логистическое искусство" разделил арифметические действия по ступеням. На низшей ступени находятся сложение и вычитание, на следующей - умножение и деление, далее - возведение в степень и извлечение корней. Известный методист И. В. Арнольд к операциям третьей ступени относил также логарифмирование. Традиционно арифметикой называют выполнение операций над различными объектами, как то: "арифметика квадратичных форм", "арифметика матриц"[5,с. 76].

Собственно математические расчёты и измерения, необходимые для практических нужд, как то: пропорции, проценты, тройное правило (англ.)русск., относят к низшей или практической арифметике, в то время как логический анализ понятия числа относят к теоретической арифметике. Свойства целых чисел, деление их на части, построение непрерывных дробей являются составной частью теории чисел, которую долгое время считали высшей арифметикой. Арифметика также тесно связана с алгеброй, которая изучает собственно операции без учёта особенностей и свойств чисел. Такие арифметические действия, как возведение в степень и извлечение корней, являются технической частью алгебры.

В этом ключе, вслед за Ньютоном и Гауссом, алгебру принято считать обобщением арифметики. Вообще говоря, чётких границ между арифметикой, элементарной алгеброй и теорией чисел не существует. В БСЭ сказано: "Алгебра изучает, пользуясь буквенными обозначениями, общие свойства числовых систем и общие методы решения задач при помощи уравнений; арифметика занимается приёмами вычислений с конкретно заданными числами, а в своих более высоких областях - более тонкими индивидуальными свойствами чисел".

Как и прочие академические дисциплины, арифметика сталкивается с принципиальными методологическими проблемами; для неё необходимо исследование вопрос о вне противоречивости и полноты аксиом. Логическими построениями формальной системы предикатов и аксиом арифметики занимается формальная арифметика.

Арифметика - элементарный раздел математики, изучающий простейшие виды чисел (натуральные, целые, рациональные) и простейшие арифметические операции над ними (сложение, вычитание, умножение, деление).

С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была связана с техникой счета. Под "арифметикой" во многих странах обычно имеется ввиду именно эта последняя область, которая несомненно является старейшей отраслью математики [9,с. 83].

На сегодняшний день главными арифметическими операциями есть сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Рассмотрим их немножко подробнее.

Сложение – это операция нахождения суммы двух или нескольких чисел, где под суммой понимается общее количество единиц, содержащихся в рассматриваемых числах вместе. Эти числа называются слагаемыми. Например, 16 + 8 = 24. Здесь 16 и 8 – слагаемые, 24 – сумма. Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится: 16 + 8 = 24 и 8 + 16 = 24.

Вычитание является действием, обратным к сложению, так как это операция нахождения одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Вычесть из одного числа (уменьшаемого) другое (вычитаемое) - значит найти такое третье число (разность), которое при сложении с вычитаемым дает уменьшаемое: 24 – 8 = 16. Здесь 24 – уменьшаемое, 8 – вычитаемое, 16 – разность.

Умножение. Умножить одно число n (множимое) на другое целое число m (множитель) - значит повторить множимое n в качестве слагаемого m раз. Результат умножения называется произведением.

Например, 12 * 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48. Таким образом, 12 * 4 = 48 или 12 * 4 = 48. Здесь 12 – множимое, 4 – множитель, 48 – произведение. Если множимое n и множитель m поменять местами, то произведение не изменится. Например, 12 * 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48 и соответственно, 4 * 12 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 48. Поэтому множимое и множитель часто называются сомножителями.

Деление является действием, обратным к умножению, так как это операция нахождения одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю: Разделить одно число (делимое) на другое (делитель) – значит найти такое третье число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое: 48: 4 = 12. Здесь 48 – делимое, 4 – делитель, 12 – частное. Частное от деления одного целого числа на другое целое число может и не быть целым числом. Тогда это частное представляется в виде дроби. Если частное – целое число, то говорят, что эти числа делятся нацело. В противном случае мы выполняем деление с остатком. Пример: 23 не делится на 4, в этом случае мы можем записать: 23 = 5 * 4 + 3. Здесь 3 – остаток.

Возведение в степень. Возвести число (основание степени) в целую степень (показатель степени) – значит повторить его сомножителем столько раз, каков показатель степени. Результат называется степенью.

Вторая степень любого числа называется квадратом, третья – кубом. Первой степенью любого числа является само это число.

Извлечение корня является действием, обратным к возведению в степень, так как это операция нахождения основания степени по степени и её показателю. Извлечь корень n-ой степени (n – показатель корня) из числа a (подкоренное число) – значит найти третье число, n -ая степень которого равна а. Результат называется корнем.

Корень второй степени называется квадратным, корень третьей степени – кубическим. Показатель квадратного корня не записывается:

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня являются попарно взаимно-обратными операциями в арифметике [15,с. 94].

История арифметики

Арифметика (др.-греч. ἀριθμητική от ἀριθμός -число) - раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа в развитии представлений о нём (натуральные, целые и рациональные, действительные, комплексные числа) и его свойствах.

В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая арифметика уделяет внимание определению и анализу понятия числа, в то время как формальная арифметика оперирует логическими построениями предикатов и аксиом. Арифметика является древнейшей и одной из основных математических наук, она тесно связана с алгеброй, геометрией и теорией чисел.

Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте, простейших измерениях и вычислениях. Наука развивалась вместе с усложнением задач, требующих решения. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности философы-пифагорейцы, пытавшиеся с помощью чисел постичь и описать все закономерности мира.

В Средние века арифметику относили, вслед за неоплатониками, к числу так называемых Семи свободных искусств.

Основными областями практического применения арифметики тогда были торговля, навигация, строительство. В связи с этим особое значение получили приближённые вычисления иррациональных чисел, необходимые в первую очередь для геометрических построений. Особенно бурно арифметика развивалась в Индии и странах ислама, откуда новейшие достижения математической мысли проникли в Западную Европу.

С наступлением Нового времени мореходная астрономия, механика, усложнившиеся коммерческие расчёты поставили новые запросы к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию арифметики. В начале XVII века Непер изобрёл логарифмы, а затем Ферма выделил теорию чисел в самостоятельный раздел арифметики. К концу века сформировалось представление об иррациональном числе как о последовательности рациональных приближений, а в течение следующего столетия благодаря трудам Ламберта, Эйлера, Гаусса арифметика включила в себя операции с комплексными величинами, приобретя современный вид.

Последующая история арифметики ознаменована критическим пересмотром её основ, попытками дедуктивного её обоснования. Теоретические обоснования представления о числе связаны в первую очередь со строгим определением натурального числа и аксиомами Пеано, сформулированными в 1889 году.

Непротиворечивость формального построения арифметики была показана Генценом в 1936 году.

Основам арифметики издавна и неизменно уделяется большое внимание в начальном школьном образовании.

С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была связана с техникой счета. Под "арифметикой" во многих странах обычно имеется ввиду именно эта последняя область, которая несомненно является старейшей отраслью математики [17,с.28].

По-видимому, наибольшую трудность у древних вычислителей вызывала работа с дробями. Об этом можно судить по папирусу Ахмеса (называемому также папирусом Ринда), древнеегипетскому сочинению по математике, датируемому примерно 1650 до н.э. Все дроби, упоминаемые в папирусе, за исключением 2/3, имеют числители, равные 1.

Трудность обращения с дробями заметна и при изучении древневавилонских клинописных табличек. И древние египтяне, и вавилоняне, по-видимому, производили вычисления с помощью некоторой разновидности абака. Наука о числах получила у древних греков существенное развитие начиная с Пифагора, около 530 до н.э. Что же касается непосредственно техники вычисления, то в этой области греками было сделано гораздо меньше.

Жившие позднее римляне, напротив, практически не внесли никакого вклада в науку о числе, зато исходя из нужд быстро развивавшихся производства и торговли усовершенствовали абак как счетное устройство. О зарождении индийской арифметики известно очень мало.

До нас дошли лишь некоторые более поздние работы о теории и практике операций с числами, написанные уже после того, как индийская позиционная система была усовершенствована посредством включения в нее нуля. Когда в точности это произошло, нам достоверно неизвестно, но именно тогда были заложены основы для наших наиболее распространенных арифметических алгоритмов.

Индийская система счисления и первые арифметические алгоритмы были заимствованы арабами. Самый ранний из дошедших до нас арабских учебников арифметики был написан Аль-Хорезми.

В нем широко используются и объясняются индийские цифры. Позднее этот учебник был переведен на латынь и оказал значительное влияние на Западную Европу. Искаженный вариант имени Аль-Хорезми дошел до нас в слове "алгоризм", которое при дальнейшем смешении с греческим словомаритмос превратилось в термин "алгоритм".

Индо-арабская арифметика стала известна в Западной Европе в основном благодаря сочинению Л.Фибоначчи Книга абака (Liber abaci, 1202). Метод абацистов предлагал упрощения, подобные использованию нашей позиционной системы, во всяком случае для сложения и умножения.

Один из первых учебников арифметики, автор которого нам неизвестен, вышел в Тревизо (Италия) в 1478. В нем речь шла о расчетах при совершении торговых сделок. Этот учебник стал предшественником многих появившихся впоследствии учебников арифметики. До начала 17 в. в Европе было опубликовано более трехсот таких учебников. Арифметические алгоритмы за это время были существенно усовершенствованы. В 16–17 вв. появились символы арифметических операций, такие как =, +, -, ґ, ё и.

Принято считать, что десятичные дроби изобрел в 1585 С.Стевин, логарифмы – Дж.Непер в 1614, логарифмическую линейку – У.Оутред в 1622. Современные аналоговые и цифровые вычислительные устройства были изобретены в середине 20 в.

На Руси использовали аналог древнегреческой нумерации с использованием букв кириллицы или глаголицы. Вместе с тем, в отличие от многих народов, которые придали числовые значения новым буквам, на Руси за малым исключением продолжали использовать буквы греческого алфавита или похожие. Числа писались в том же порядке, что и произносились, то есть в числе 15 сначала шёл знак для пяти, а потом для десятка, в то время как в числе 25 - сначала для 2, а потом для 5. Наибольшее распространение получила кириллическая нумерация [12,с. 69].

Арифметика в России называлась щётная мудрость, или "Чёрная книга", откуда произошло чернокнижие. Книги по арифметике мало кто мог прочитать и понять, так как они содержали арифметические правила и выкладки и были составлены из малопонятных знаков.

XI веком датируются математические задачи из юридического сборника "Русская Правда" - первый дошедший до нас математический документ Древней Руси, содержащий задачи о приплоде скота, количестве зерна и сена, собираемого с определённой площади. Дальнейшее развитие науки было остановлено монголо-татарским нашествием. В конце XVI века появилась "Книга, рекома по гречески Арифметика, по-немецки Алгорисма, а по-русски - Цифирная счетная мудрость", которая, по мнению Карамзина, и была первой русской арифметикой.

Считается, что арабские цифры были введены в России после первого заграничного путешествия Петра I, когда он в 1698 году привёз изЛондона морских офицеров. Одним из офицеров был Фергарсон, который, как полагают, ввёл в России арабские цифры.

Вместе с тем они пришли в Россию задолго до Петра, в 1647 году в Москве по указу царя Алексея Михайловича был напечатан русский воинский устав, в котором использовались арабские цифры. Книги же, напечатанные на русском языке за пределами России, содержали арабские цифры с начала XVI века. При этом в тексте использовалась славянская нумерация, а для вычислений - арабская.

В 1682 году в Москве была напечатана первая книга математического содержания "Считание удобное, которым всякий человек купующий или продающий зело удобно изыскати может, число всякие вещи", которая содержала таблицы умножения до 100 и использовала славянскую нумерацию. Второе издание этой книги, выпущенное в 1714 году в Петербурге, было напечатано гражданским шрифтом и арабскими цифрами. В 1699 году в Амстердаме вышла книга "Краткое и полезное руковедение в аритметыку, или во обучение и познание всякого счёту в сочетании всяких вещей" - первый учебник арифметики на русском языке. Книга была составлена Ильёй Фёдоровичем Копиевичем (или Копиевским) по заказу архангельских купцов. Она не удовлетворила заказчиков и распространения не получила.

В России первый учебник арифметики Леонтия Магницкого был напечатан в 1703 году. В "Арифметике" Магницкого, вслед за остальной Европой, используется счёт по числу пальцев на руках: числа от 1 до 9 названы "перстами", нуль - "низачто", десятки - "составами", а остальные числа - "сочинениями".

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: