Канонічне та параметричне рівняння прямої

⇐ Предыдущая 48 49 50 51 525354 55 56 57 Следующая ⇒

Нехай в системі координат задана точка і ненульовий вектор (рис.7).

рис.7.

Необхідно скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору , що називається напрямним вектором. Довільна точка належить цій прямій тоді і тільки тоді, коли . Оскільки вектор – заданий, а вектор , то згідно з умовою паралельності, координати цих векторів пропорційні, тобто

Співвідношення (7) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку у заданому напрямку або канонічним рівнянням прямої.

Звернемо увагу, що до рівняння вигляду (7) можна перейти, наприклад, від рівняння пучка прямих (4)

або від рівняння прямої за точкою та нормальним вектором (1)

Зауваження. Вище припускалось, що напрямний вектор – ненульовий, але може трапитись, що одна з його координат, наприклад, . Тоді вираз (7) формально запишеться

який, взагалі кажучи, не має смислу. Однак приймають і отримують рівняння прямої перпиндикулярної осі . Дійсно із рівності видно, що пряма визначена точкою і напрямним вектором , перпиндикулярним осі . Якщо ж в цьому рівнянні звільнитись від знаменника, то отримаємо , або – рівняння прямої, перпендикулярної осі . Аналогічно було б отримано для вектора .

Щоб перейти до параметричного рівняння прямої, прирівняємо кожен із дробів (7) до параметра . Оскільки хоча б один із знаменників в (7) відмінний від нуля, а відповідний чисельник може набувати довільні значення, то область зміни параметра – вся числова вісь. Отримаємо

або

Рівняння (8) називається параметричним рівнянням прямої.

Приклади

1. На прямій лінії заданої рівнянням , знайти точкуM(x,y), що знаходяться від точки цієї прямої на відстані 10 одиниць.

Розв’язання. Нехай – шукана точка прямої, тоді для відстані запишемо . За умовою . Оскільки точка належить прямій , що має нормальний вектор , то рівняння прямої можна записати