Двоичная арифметика. Потопахин Виталий Валерьевич

Потопахин Виталий Валерьевич

Дорогие читатели. В данной статье излагается материал по информатике. Вам необходимо внимательно изучить этот материал, решить задачи, предложенные для самостоятельного решения, оформить их в отдельной тетради и выслать на адрес, указанный во вступительной статье.

Числа, которыми мы привыкли пользоваться, называются десятичными и арифметика, которой мы пользуемся, также называется десятичной. Называются они так потому, что каждое число можно составить из набора цифр содержащего 10 символов - цифр - "0123456789".

Так исторически сложилось, что именно этот набор стал основным в записи чисел, но десятичная арифметика не единственная. Если мы возьмём только пять цифр, то на их основе можно построить пятеричную арифметику, из семи цифр - семеричную. В областях знаний, связанных с компьютерной техникой часто используют арифметику, в которой числа составляются из шестнадцати цифр, соответственно эта арифметика называется шестнадцатеричной. Чтобы понять, что такое число в не десятичной арифметике сначала вспомним, что такое число в десятичной арифметике.

Возьмём, к примеру, число 246. Его запись означает, что в числе две сотни, четыре десятка и шесть единиц. Следовательно, можно записать следующее равенство:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10² + 4 * 10¹ + 6 * 10⁰

Здесь знаками равенства отделены три способа записи одного и того же числа. Для нас наиболее интересна третья форма записи: 2 * 10² + 4 * 10¹ + 6 * 10⁰ . Она построена следующим образом:

В нашем числе три цифры. Старшая цифра "2" имеет номер 3. Так вот она умножается на 10 во второй степени. Следующая цифра "4" имеет порядковый номер 2 и умножается на 10 в первой степени. Уже видно, что цифры умножаются на десять в степени на единицу меньше порядкового номера цифры. Уяснив сказанное, мы можем записать общую формулу представления десятичного числа. Пусть дано число, в котором N цифр. Будем обозначать i-ю цифру через a_i. Тогда число можно записать в следующем виде: a_na_n-1….a₂a₁. Это первая форма, а третья форма записи будет выглядеть так:

a_na_n-1….a₂a₁ = a_n * 10^n-1 + a_n-1 * 10^n-2 + …. + a₂ * 10¹ + a₁ * 10⁰

где a_i это символ из набора "0123456789"

В этой записи очень хорошо видна роль десятки. Десятка является основой образования числа. И, кстати, она так и называется "основание системы счисления", а сама система счисления называется "десятичной". Конечно, никакими особыми свойствами число десять не обладает. Мы вполне можем заменить десять на любое другое число. Например, число в пятеричной системе счисления можно записать так:

a_na_n-1….a₂a₁ = a_n * 5^n-1 + a_n-1 * 5^n-2 + …. + a₂ * 5¹ + a₁ * 5⁰

где a_i это символ из набора "012345"

В общем, заменяем 10 на любое другое число и получаем совершенно другую систему счисления и другую арифметику. Наиболее простая арифметика получается, если заменить 10 на 2. Полученная система счисления называется двоичной и число в ней определяется следующим образом:

a_na_n-1….a₂a₁ = a_n * 2^n-1 + a_n-1 * 2^n-2 + …. + a₂ * 2¹ + a₁ * 2⁰

где a_i это символ из набора "01"

Эта система - самая простая из всех возможных, так как в ней любое число образуется только из двух цифр 0 и 1.

Примеры двоичных чисел: 10, 111, 101.

Очень важный вопрос. Можно ли двоичное число представить в виде десятичного числа и наоборот, можно ли десятичное число представить в виде двоичного.

Двоичное в десятичное. Это очень просто. Возьмём, к примеру, следующее двоичное число 1011. Разложим его по степеням двойки. Получим:

1001 = 1 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰

Выполним все записанные действия и получим:

1 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 8 + 0+ 0 + 1 = 9.

Таким образом, получаем, что 1011(двоичное) = 9 (десятичное). Сразу видно и небольшое неудобство двоичной системы. То число, которое, в десятичной системе записано одним знаком в двоичной системе, для своей записи требует четырех знаков. Но это плата за простоту в других вещах (бесплатно ничего не бывает). Двоичная система даёт огромный выигрыш в арифметических действиях. Ниже мы подробно рассмотрим этот вопрос.

Упражнение. Представьте в виде десятичного числа следующие двоичные числа: а) 10010 б) 11101 с) 1010 в) 1110 г) 100011 д) 1100111 е) 1001110

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: