СЖАТОГО СТЕРЖНЯ БОЛЬШОЙ ГИБКОСТИ

Лабораторная работа

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

СЖАТОГО СТЕРЖНЯ

БОЛЬШОЙ ГИБКОСТИ

Пермь 2012

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

СЖАТОГО СТЕРЖНЯ БОЛЬШОЙ ГИБКОСТИ

Цель работы:

Изучение процесса потери устойчивости при осевом сжатии стержней и опытное определение критической силы.

Поскольку величина критической силы зависит не только от размеров стержня, но и от условий закрепления его на опорах, проводится серия опытов при различных условиях закрепления концов испытываемых стержней.

Содержание работы:

Центрально сжатый стержень может пребывать в двух состояниях – устойчивом и не устойчивом. При малой сжимающей силе, меньше некоторого критического значения Р< сжатый стержень нечувствителен к малым возмущениям. Незначительные дополнительные воздействия мало отклоняют стержень от его прямоугольного состояния, что отвечает устойчивому положению сжатого стержня. При Р> прямоугольная форма сжатого стержня неустойчива. Сколь угодно малые случайные воздействия вызовут большие отклонения – неустойчивая форма равновесия. При этом стержень искривляется. Такое состояние называется продольным изгибом.

Появление продольного изгиба опасно тем, что при нем происходит очень сильное нарастание прогибов при малом нарастании сжимающей силы. Прогибы и нагрузка связаны между собой нелинейной зависимостью. Быстрое нарастание прогибов вызывает быстрое нарастание напряжений от изгиба, что ведет к разрушению стержня. Для тонких (гибких) стержней потеря устойчивости часто наступает при сравнительно небольших сжимающих напряжениях. Количественной мерой, определяющей переход центрального стержня из состояния устойчивого в неустойчивое, оказывается величина сжимающей силы. Пограничное между двумя состояниями значение силы называется критической силой и обозначается . Теоретическая формула для определения критической силы, формула Эйлера, имеет вид:

, (1)

где – коэффициент, зависящий от способа закрепления концов стержня (рис. 1);

Рис. 1. Варианты закрепления концов стержня.

J_min – минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня;

безразмерная величина, называемая гибкостью стержня

, (2)

здесь i_min -минимальный радиус инерции сечения стержня

,

где F —площадь поперечного сечения).

Соответствующие нормальные напряжения называются критическими

. (3)

Формулами (1) и (3) можно пользоваться только при таких нагрузках, пока напряжения не превышают предела пропорциональности материала σ_пц. Например, для стали марки Ст.3 σ_пц= 200 МПа, Е= 2•10⁵ МПа. Это определяет рамки применимости теории Эйле­ра:

.

Таким образом, для данной марки стали, формула Эйлера оказывается пригодной только при гибкостях, превышающих λ_* ≈100.

При меньших значениях гибкости формула (3) неприменима, так как потеря устойчивости происходит при напряжениях, превосхо­дящих предел пропорциональности. В этих случаях применяются эмпирические формулы и соответствующие им таблицы или графики. Формула Ясинского для критического напряжения при λ < λ_* имеет вид

. (4)

Здесь а и b - постоянные, зависящие от свойств материала. В частности, для той же марки Ст.3 можно положить: а = 310 МПа, b = 1.1 МПа.

На основании формулы (4) при малых значениях λ можно вый­ти на критические напряжения, превышающие предел текучести материала или предел прочности при сжатии . Но это такие на­пряжения, превышение которых означает выход из строя сжимаемо­го элемента не из-за потери устойчивости, а просто по причине пла­стического течения или разрушения материала. К примеру, при λ = 20 формула (3) дает σ_кр = 228 МПа, что выше предела текуче­сти материала.

На рис. 2 показан полный график зависимости критических напряжений от гибкости. Пунктиром обозначена кривая Эйлера, по­строенная по уравнению (1) при λ< λ_*. То есть, реальные значения критической силы при этих значениях гибкости существенно ниже тех, что дает формула Эйлера, т.е. ошибка при использовании по­следней не пойдет в запас прочности).

Рис. 2. График зависимости критических напряжений от гибкости.

Оборудование и материалы:

1. Установка для демонстрации продольно-поперечного изгиба стержня большой гибкости ТМт 15 (рис. 3);

2. Грузы в 1, 3, 5 кг.

Установка ТМт 15 выполнена в настольном исполнении и со­стоит из основания 1 с регулируемыми опорами 2 и цилиндрической стойкой 3. На стойке с помощью шарниров опорных узлов 4 установ­лен испытуемый стержень 5, который можно дополнительно фиксировать в опорах винтами и таким образом изменять условия закрепления, т.е. переходить от шарнирного закрепления к заделке. Это позволяет установить на опыте влияние способов закрепления концов на величину критической силы. Нагружение испытываемого стержня осуществляется через рычаг 6 и подвес 7 с гирями. Для плавного нагружения на рычаге установлен подвижный груз 8, и имеется шкала с ценой деления 10 Н. Установка имеет регулировочную гайку 9 для выставления нагружающего рычага 6 в горизонтальное положение. Упор 10 предназначен для предохранения испытуемого стержня от нагрузок, превышающих предел текучести материала стержня. С помощью противовесов 11 производится уравновешивание рычажной нагружающей системы.

Рис. 3. Установка ТМт-15.

Меры безопасности:

К работе с указанной установкой допускаются лица, ознакомленные с её устройством, принципом действия и порядком проведения работы.

Подготовка установки к работе:

1. Поместить установку на ровной горизонтальной поверхности стола и привести ее в строго вертикальное положение с помощью регулировочных опор.

2. Не нагружая установки гирями и подвижным грузом вращением гайки 9 и противовесов 11 обеспечить горизонтальное расположение рычага 6, при этом ролик 12 должен касаться гайки 9.

3. Вращением упора 10 выставить зазор между упором и станиной 1,5 мм.

4. Установить груз подвижный 8 в нулевое положение на рычаге 6. Этой операцией подготовка установки к работе заканчивается.

Задание:

Определить значение критической силы (веса груза) при испытании стержня с шарнирно опертыми концами; одним шарнирным и другим защемленным концами; с двумя защемленными концами.

Порядок выполнения работы:

Испытания на устойчивость для определения критической силы проводятся для трех случаев закрепления (рис. 1):

1) стержень с шарнирно опертыми концами, 2) стержень с одним шарнирным и другим защемленным концами, 3) стержень с двумя защемленными концами.

Опыт 1. Испытание на устойчивость стержня с шарнирно опертыми концами.

Отпустить винты обеих опор, что соответствует шарнирному закреплению стержня. Установить на подвес гирю в 1 кг и медленно перемещать подвижный груз 8 из нулевого положения. При этом необходимо следить за состоянием стержня 5. Момент начала выпучивания стержня и есть начало потери устойчивости стержня (критическое состояние). Величина нагрузки, замеченной в этот момент, представляет собой критическую силу, полученную на опыте. Эту силу также можно определить, увеличивая сжатие до тех пор, пока стержень, отклоненный от первоначального положения легким нажатием пальца, перестанет возвращаться в первоначальное положение.

Внимание! Дальнейшее нагружение не производить, т.к.
продолжение увеличения нагрузки даже в незначительной
степени приведет к интенсивному росту прогибов
вплоть до появления пластических деформаций в стержне
и выходу конструкции из строя.

Учитывая вес положенной гири и положение подвижного груза, найти величину критической силы, достигнутой при испытании и занести ее в таблицу. Вычислить значение критической силы по формуле Эйлера и определить расхождение между теоретическим и экспериментально полученным значением. Объяснить полученное расхождение.

Опыт 2. Испытание на устойчивость стержня с одним шарнирным и другим защемленным концами.

Затянув винт одной из опор, получим схему закрепления стержня с шарниром и заделкой. При этом устанавливается на подвес набор гирь в 3 кг, и дальнейшее нагружение идет также за счет подвижного груза.

Повторить действия предыдущего опыта и результаты занести в таблицу.

Опыт 3. Испытание на устойчивость стержня с двумя защемленными концами.

Затянув винты обеих опор, получим схему закрепления с двумя заделками. Первоначальное нагружение осуществляется гирями весом в 5 кг.

Повторить действия предыдущего опыта и результаты занести в таблицу.

Выводы

По данным таблицы сделать вывод о справедливости гипотез, положенных в основу вывода формулы Эйлера, и о степени пригодности этой формулы для практических расчетов.

Следует иметь в виду, что при постановке опытов не всегда удается избежать некоторых, казалось бы, маловажных обстоятельств, влияющих на результаты испытаний (трение в шарнирах, наличие начальной кривизны, переменность сечения по длине стержня и связанная с этим внецентренность приложения нагрузки и т.д.). При тщательном проведении опытов расхождение между экспериментальными и теоретическими результатами обычно не превышает 5…10%.

Контрольные вопросы:

1. В чем состоит явление потери устойчивости при сжатии стержня? Какая сила называется критической?

2. Как вычисляется критическая сила при потере устойчивости в области упругих деформаций?

3. Что называется критическим напряжением и как его вычислить?

4. Как вычисляется гибкость стержня? Как влияют на гибкость условиям закрепления концов стержня? Приведите примеры.

5. Укажите границы применимости формулы Эйлера. Чем вызвано это ограничение?

6. Как вычисляется критическое напряжение для стержней малой гибкости?

7. Как производится сравнение теоретических и экспериментальных значений критического напряжения?

8. Укажите возможные причины несовпадения экспериментальных и теоретических данных. Какие меры следует принять для уменьшения расхождения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: