Билет 6. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса.

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0. Вектор называется ортогональным подпростаству, если он ортогонален любому вектору этого подпр-ва. Два под-ва называются ортогональными, если скалярное произведение векторов из разных подпространств равно 0. Сумма подпространств называется ортогональной, если её слагаемые попарно ортогональны. Система векторов называется ортонормированной, если скалярный квадрат любого вектора равен 1, а произведение любых двух различный векторов в базисе равно 0.

Т Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима (домножаем линейную комбинацию равную 0 на любой вектор базиса).

Следствие 1: Ортонормированная система векторов линейно независима.

Следствие 2: В n-мерном евклидовом (унитарном) пространстве любая ортонормированная система из n векторов образует базис.

Базис, векторы которого образуют ортонормированную систему, называется ортонормированным базисом.

Т В евклидовом (унитарном) пр-ве координаты вектора вычисляются как скалярное произведение этого вектора на базисный тогда и только тогда, когда базис ортонормированный (Необходимость: координаты базисных векторов 1, Достаточность:

помножить на любой базисный вектор разложение по координатам).

Т В евклидовом (унитарном) пр-ве скалярное произведение векторов заданных своими координатами в базисе вычисляется по правилу сумма произведений координат 1ого на сопряжение координат второго тогда и только тогда, когда базис ортонормирован (Необходимость – через произведение двух базисных векторов, достаточность через разложение вектора по базису).

Т В конечном евклидовом (унитарном) пр-ве существует ортонормированный базис (Индукция: для 1 почти очевидно, для n – 1 верно, пусть имеется базис (f1…fn), для первых n -1 векторов существует ортонормированный базис, из последнего вычтем ортоногальные с такими коэффициентами, что получившийся вектор будет ортогональным, потом его нормируем).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: