ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Суммирование случайных погрешностей
Правила суммирования случайных погрешностей основаны на известных из теории вероятностей положениях [48,49]: а) оценка математического ожидания результирующей погрешности определяется алгебраической суммой оценок математических ожиданий составляющих; б) оценка СКО суммарной погрешности определяется выражением (9.7) где Si — оценка СКО i-й составляющей погрешности; m — число суммируемых составляющих погрешностей; ρij — коэффициент корреляции между i- и j-й составляющими. При суммировании m случайных погрешностей их коэффициенты корреляции образуют матрицу, которая ввиду равенства ρij = ρij является диагональной. Так как матрица коэффициентов корреляции симметрична относительно главной диагонали, на которой находятся значения ρij = 1, то формулу (9.7) можно переписать в виде где суммирование во втором слагаемом распространяется на все те составляющие, коэффициенты корреляции которых находятся в матрице правее и выше главной диагонали. Их число равно m(m—1)/2. Использование последнего уравнения и выражения (9.7) затруднительно, так как точное значение коэффициента корреляции между составляющими обычно неизвестно. В этом случае при расчетах полагают ρ = 0, если случайные составляющие можно считать независимыми (при |ρ| < 0,7), или ρ = ±1, если заметна корреляция между суммируемыми случайными составляющими погрешностей (при |ρ | > 0,7). При необходимости точного учета коэффициента корреляции между погрешностями аргументов Xi и Xj его оценка может быть найдена по формуле (9.8) где Xki, Xkj — элементы выборки аргументов Хi и Хj; S(X̃i), S(X̃j) — оценки СКО средних арифметических результатов измерений аргументов Xi и Хj. Оценку коэффициента корреляции можно определить и по формуле (9.9) Полезной может оказаться формула (9.10) основным достоинством которой является отсутствие необходимости предварительного вычисления СКО составляющих Xkj и Xki. Следует отметить, что формулы (9.8)—(9.10) равнозначны. В случае суммирования нормально распределенных случайных погрешностей результирующая погрешность измерения состоит из m случайных составляющих. Зная доверительную вероятность Р и доверительный интервал Д: для каждой составляющей погрешности, можно найти оценку СКО любой из них по формуле (9.11) где zpj — квантиль нормального распределения, соответствующий доверительной вероятности Рj. Если значение Р для всех составляющих одинаково, то, используя выражения (9.7) и (9.11), получаем: а) для коррелированных составляющих (ρij = ±1) (9.12) где знак "±" означает, что для составляющих с положительной корреляцией величины Si и Di нужно брать со знаком "+", а для составляющих с отрицательной корреляцией — со знаком "-"; б) для независимых составляющих (ρij = 0) (9.13) При суммировании составляющих с нормальным законом распределения результирующая погрешность также будет распределена нормально. Поэтому доверительный интервал суммарной погрешности с доверительной вероятностью Р может быть найден как (9.14) С учетом (9.12) и (9.13) выражение (9.14) принимает вид, соответственно для коррелированных и некоррелированных составляющих: (9.15) Суммирование погрешностей по первой формуле называется арифметическим, а по второй — геометрическим. Действительные значения коэффициентов корреляции по абсолютному значению могут находиться в пределах от нуля до единицы, поэтому арифметическое суммирование обычно дает завышенное значение суммарной погрешности, а геометрическое — заниженное, т.е. действительное значение находится в интервале между ними. Закон распределения результирующей погрешности зависит от конкретных видов и характеристик законов распределения суммируемых составляющих. Исходя из этого для определения доверительного интервала суммарной погрешности необходимо в каждом конкретном случае по известным законам суммируемых составляющих установить методами теории вероятностей результирующий закон распределения. Зная его и соответственно квантильный множитель zp, можно найти доверительный интервал суммарной погрешности по формуле (9.14). Возможны приближенные способы определения доверительного интервала суммарной погрешности без установления результирующего закона распределения (они рассмотривались в разд. 9.1).
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|