ПО РАЗДЕЛУ МАТЕМАТИКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВЕТЕРИНАРНОЙ МЕДИЦИНЫ И БИОТЕХНОЛОГИИ ИМ. К.И. СКРЯБИНА»

_______________________________________________________________

Джугели Т.П., Кишкинова О.А., Кутликова И.В., Федькина Т.В.

Методические указания для решения контрольной работы

ПО РАЗДЕЛУ МАТЕМАТИКИ

«ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

(для студентов ветеринарно-биологического факультета)

Москва 2010

Данная контрольная работа должна позволить и студенту, и преподавателю оценить уровень усвоения указанной темы. Работа рассчитана на два академических часа и выполняется самостоятельно. В каждом варианте 7 заданий.Выполнение заданий №1, №2, №4 предполагает знание основных правил дифференцирования и правила дифференцирования сложных функций с помощью таблицы производных.

Основные правила дифференцирования таковы:

Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда

1) 2)

3) , 4) , где C – const.

Для эффективного дифференцирования сложных функций полезна таблица основных элементарных функций, аргумент которых есть тоже функция. Итак, пусть , где . Тогда

1. , C – const	2. , n – const
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13. , , , a – const	14.
15. , , , a – const	16.

В задании №3 нужно найти производную третьего порядка согласно формулам:

, .

Задания №5-№7 посвящены приложениям производной. В зависимости от номера варианта нужно уметь составить уравнение касательной к заданной кривой в заданной точке, вычислить приближенно некоторое арифметическое выражение с помощью формул приближенных вычислений, по закону движения точки найти её скорость и ускорение, найти предел функции в точке (предполагается знание правила Лопиталя).

Примерные варианты контрольной работы

Вариант-1.

Задание №1.

Найти производную и дифференциал:

Решение: с помощью формулы логарифмирования степени , перепишем данную функцию в следующем виде: , где .

По формуле найдем производную данной функции.

[Производную дроби находим по правилу дифференцирования ]

.

Дифференциал функции ищем по формуле:

.

Ответ: ; .

Задание №2.

Найти производную и дифференциал:

.

Решение: для нахождения производной данной функции используем два правила дифференцирования: 1) ;

2)

[справедливы следующие формулы: ]

.

Дифференциал функции ищем по формуле:

.

.

Ответ: ;

Задание №3.

Найти -?

Решение: найдем от данной функции. Воспользуемся формулой:

.

.

Найдем

.

Теперь найдем .

.

Ответ: .

Задание №4.

Доказать, что .

Для доказательства найдем производную в левой части равенства. Воспользуемся следующим правилом дифференцирования: , т.е.

.

Получим, что левая часть равна правой.

Что и следовало доказать.

Задание №5.

Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону , . Определить скорость и ускорение движения в момент времени .

Решение:

;

Ответ: ; .

Задание №6.

Вычислить приближенно: .

Решение: для приближенного вычисления будем использовать формулу:

(*)

В нашем случае следует взять . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю. Например, x = 0,5 .

Подставим эти значения в формулу (*):

Ответ: .

Задание №7.

Найти: .

Решение: [Воспользуемся правилом Лопиталя: ]=

Ответ: .

Вариант - 2.

Задание №1.

Найти производную и дифференциал:

Решение: с помощью формулы логарифмирования степени , перепишем данную функцию в следующем виде: , где .

По формуле найдем производную данной функции.

[производная дроби находим по правилу дифференцирования ]

= .

Дифференциал функции ищем по формуле:

Ответ: ; .

Задание №2.

Найти производную и дифференциал:

Решение: для нахождения производной данной функции используем два правила дифференцирования: 1)

2)

[справедливы следующие формулы:

.

Дифференциал функции ищем по формуле:

Ответ:

Задание №3.

Найти:

Решение: найдем от данной функции, используя формулу и правило дифференцирования

.

Найдем .

.

Теперь найдем

Ответ: .

Задание №4.

Определить:

Решение:

1). Найдем по формуле

2). Воспользовавшись формулой , найдем производную функции .

3).

4).

Получили, что .

Что и требовалось доказать.

Задание №5.

Составить уравнение касательных к параболе в точках с ординатой равной 1.

Решение: запишем уравнение касательной .

В нашем случае .

Для нахождения , подставим значение в заданную функцию.

Получили две точки: .

Ответ: .

Задание №6.

Вычислить приближенно:

Решение: Для приближенного вычисления будем использовать формулу:

В нашем случае следует взять , , . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю. Например, .

Подставим эти значения в формулу :

Ответ:

Задание №7.

Найти:

Решение: = [Воспользуемся правилом Лопиталя: ]=

.

Ответ: .

Вариант-3.

Задание №1.

Найти производную и дифференциал:

Решение: с помощью формулы логарифмирования степени , перепишем данную функцию в следующем виде: , где .

По формуле найдем производную данной функции.

[производную дроби находим по правилу дифференцирования ]=

= .

Дифференциал функции ищем по формуле:

Ответ: ; .

Задание №2.

Найти производную и дифференциал:

.

Решение: для нахождения производной данной функции используем два правила дифференцирования:

1) ;

2)

=[справедливы следующие формулы: ; ]= = .

Дифференциал функции ищем по формуле:

Ответ: ; .

Задание №3

. Найти -?

Решение: найдем от данной функции. Воспользуемся формулой

.

Найдем

Теперь найдем .

Ответ: .

Задание №4.

Доказать, что .

Для доказательства найдем производную в левой части равенства. Воспользуемся следующим правилом дифференцирования: , т.е.

Получаем, что левая часть равна правой.

Что и требовалось доказать.

Задание №5.

Тело движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение движения в конце 1-ой секунды.

Решение:

;

Т.к. в нашем случае , то

.

Ответ: ; .

Задание №6.

Вычислить приближенно .

Решение: для приближенного вычисления будем использовать формулу:

(*).

В нашем случае следует взять ; ; . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю. Например, .

Подставим эти значения в формулу (*):

Ответ: .

Задание №7.

Найти:

Решение: =[Воспользуемся правилом Лопиталя: ]=

Ответ: .

Дополнительно можно воспользоваться следующей литературой.

1. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. Под редакцией Б.П. Демидовича.

2. Т.П. Джугели, В.П. Моисеенко, Л.Г. Кудинова. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания. М.:МГАВМ и Б им. К.И. Скрябина, 2006г.

3. Т.П. Джугели, В.П. Моисеенко, Т.В. Федькина. Функции нескольких переменных. Учебно-методические указания. М.: ФГОУ ВПО МГАВМ и Б им. К.И.Скрябина, 2004г.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: