Графічний метод розв’язку

⇐ Предыдущая 1 23

Для прикладу розглянемо довільну стінку товщиною в якій відоме розподілення температур для довільного часу τ. Використовуючи попередньо отримані формули спробуємо знайти розподілення температур у цій стінці через довільний інтервал часу Δτ геометричним способом (мал. 3)

1. Для розбиття стінки на відповідну кількість шарів скористаємось рівнянням: , звідки знаходимо , і кількість шарів:

2.Розділяємо стінку на k шарів, та,будуємо осьові лінії для кожного шару.

3.З’єднавши температури центрів шарів через шар, отримаємо нові точки температур утворені перетинами з’єднувальних відрізків з центрами шарів. Отримані температури визначають температурне поле для наступного інтервалу часу τ+Δτ. Невизначеними залишаються температури лише в першому і останньому шарі.

Для першого і останнього шару існує лише один суміжний шар, тому температуру в цих шарах для наступного інтервалу часу знаходять використовуючи направляючу точку.

Характерна особливість цієї точки у тому, що проведена з неї до поверхні стінки пряма лінія завжди є дотичною до температурного поля в точці, що лежить на поверхні стінки. Направляюча точка R має координати , тобто знаходиться на відстані , від її поверхні, але не ближче ніж .

2.Розглянемо графічний спосіб розв’язку задачі нестаціонарної теплопровідності при нагріванні тіла за граничних умов третього роду.

Для графічної побудови температурного поля у плоскій стінці при нагріванні її середовищем з постійною температурою необхідно:

1. вибрати товщину шарів Δх і інтервал часу Δτ використовуючи співвідношення .

2. в масштабі викреслити стінку розбиваючи і на шари товщиною Δх, та проводять вісі симетрії шарів.

3. З лівого та правого боку стінки провести допоміжні лінії MN і M^/N^/ на відстані .

4. Розрахувати координати направляючих точок ; , та показати їх на малюнку.

5. відкласти значення початкових температур для кожного шару, та з’єднавши їх і направляючі точки відобразити початкове температурне поле.(R-B-1-2-3-4-R^/)

6. З’єднуючи направляючу точку з температурою першого шару отримуємо точку перетину ана допоміжній лінії MN, яку потім і використаємо для знаходження температури в першому шарі для наступного інтервалу часу (1^/). Ламана лінія R-a^/-1^/-2^/-3^/-4^/-R^/ являє собою лінію розподілення температури через час Δτ від початку нагрівання.

7. З’єднавши точки позначені цифрами з одним штрихом (через шар), отримаємо лінію R-a^//-1^//-2^//-3^//-4^//-R^/ розподілу температури через час 2Δτ від початку нагрівання. Остання є вихідною для побудови лінії розподілення температури R-a^///-1^///-2^///-3^///-4^///-R^/

Для визначення температури на поверхні стінки та температури на лінії MN розглянемо подібні трикутники ARI, МаІ, ВСІ, та запишемо співвідношення: ; , так як ,то