Миноры и алгебраические дополнения.

Определение. Если в определителе n -го порядка выбрать произвольно p строк и p столбцов (p < n), то элементы, находящиеся на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка .

Определитель этой матрицы называется минором исходного определителя. Например, рассмотрим определитель :

Из строк и столбцов с чётными номерами построим матрицу:

Определитель

называется минором определителя . Получили минор второго порядка. Ясно, что из
можно построить различные миноры первого, второго и третьего порядка.

Если взять элемент и вычеркнуть в определителе строку и столбец, на пересечении которых он стоит, то получим минор, называемый минором элемента , который обозначим через :

.

Если минор умножить на , где 3 + 2 – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент то полученное произведение называется алгебраическим дополнением элемента и обозначается ,

т.е.

Вообще, минор элемента будем обозначать , а алгебраическое дополнение ,

причём

(4)

Для примера вычислим алгебраические дополнения элементов и определителя третьего порядка :

По формуле (4) получим

Для вычисления определителя n -го порядка полезно знать следующую теорему: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.

(i = 1, 2,..., n)

3.Правило вычисление определителя n-го порядка.

Существует несколько способов вычисления определителей, основными из которых являются:

1. Вычисление определителей 2-го порядка с помощью перемножения элементов главной и побочной диагоналей.

2. Вычисление определителей 3-го порядка путем дописывания строк или столбцов – метод Саррюса.

3. Метод рекуррентных соотношений или метод разложения по элементам какой-либо строки или столбца. Общее выражение для вычисления определителя n – го порядка путем разложения его, например, по элементам первой строки выглядит так

4. Метод изменения элементов определителя.

Вычисление определителя по определению в общем случае приводит к громоздким вычислениям. Поэтому для вычисления определители порядка выше 3 используют преобразования определителя по свойствам и разложение определителя по строке (столбцу).

1 способ. Использование теоремы о разложении определителя по строке (столбцу).

2 способ. Использование свойств определителя для преобразования его к виду, когда он содержит строку или столбец с максимальным количеством нулей. Затем производят разложение определителя по этой строке (столбцу).
При этом для преобразований выбирают строку (столбец), содержащую элемент равный 1 (если есть).

3 способ. Используя свойства определителя, преобразовать его к треугольному виду. Тогда величина определителя вычисляется как произведение элементов, стоящих на главной диагонали.

(Ссылка с примерами http://www.cyberforum.ru/post2450455.html)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: