Джерела та типи похибок

Вимірюючи якусь фізичну величину, ми будемо одержувати в кожному окремому вимірюванні різні її значення, котрі групуються біля певного значення. Змінивши метод вимірювання тієї ж самої величини, ми виявляємо, що друга серія дає значення, що згруповуються біля якогось іншого значення.

Нехай, наприклад, вимірюють прискорення сили тяжіння методом падаючої кульки, а також за допомогою математичного маятника. В першому випадку одержуємо серію g1, в другому – серію g11 (рис. 2).

Чому одержуються різні значення в межах однієї серії, чому результати вимірювань однієї й тієї ж величини групуються в окремі серії в залежності від методу вимірювання? Відповідь на ці питання можна одержати, ознайомившись з теорією похибок та методами обробки експериментальних результатів.

Припустимо, що ми одержали величезну сукупність вимірювань однієї і тієї ж величини. Які методи маємо застосовувати при вивченні цієї сукупності?

Розділ математики, в якому займаються вивченням систем, що складаються з великої сукупності елементів, називається математичною статистикою. В математичній статистиці і теорії ймовірностей доводиться, що середне арифметичне значення ряду вимірювань наближається до істинного значення ближче, ніж більшість вимірюваних значень.

Оскільки часто ми не знаємо істинного значення, то логічно взяти величину середнього арифметичного:

<g>=(g₁+g₂+…+g_n)/n,

де n – число вимірювань, g_i – значення окремих вимірювань.

g1 ∆ g_сист g11

	∆gвип						∆gвип

9,0 9,5 g_іст 10,0 10,5 g (м/с²)

Рис. 2

Похибки, що викликають розсіяння результатів біля середнього арифметичного, визначаються випадковими причинами, тому передбачити кожнний черговий результат вимірювань неможливо, проте можна передбачити параметри розсіяння результатів біля середнього значення вимірюваної величини, ∆ g_вип на рис. 2.

Крім випадкових, існують ще так звані систематичні похибки, які породжуються цілим рядом причин, наприклад, зіпсованістю або недосконалістю приладів, невірним методом вимірювань, властивостями об’екту вимірювань. Систематичні похибки можуть не впливати на розсіяння результатів вимірювань навколо середнього значення, але знайденє середнє значення буде далеко відстояти від істинного. Величина систематичної похибки визначається так:

∆ g = < g > - g_іст,

Це положення наочно подано на рис. 2.

В процессі вимірювань можуть з’явитись грубі помилки (промахи), котрі виникають у разі використання неперевіреного або зіпсованного приладу, недбалого відліку показу, неправильного вмикання приладу, нерозбірливості запису його показань.

Від систематичних похибок та промахів має позбавитись сам експериментатор, застосовуючи найдосканаліші методи вимірювань та проявляючи особливу ретельність та увагу під час вимірювань.

Отже, існують три типи похибок вимірювань:

1. Грубі (промахи).

2. Систематичні.

3. Випадкові.

Перші мають бути вилучені повторними вимірюванням, які проводяться в дещо змінених умовах, дбайливим проведенням експерименту, повторенням експерименту іншим спостерігачем, повторенням експерименту з іншим аналогічним приладом і т.д. Систематичні похибки можна усунути застосуванням досконалих приладів, методів вимірювань, нарешті, використанням теоретичних формул, що найбільш правильно описують зв’язок між спостережуваними та шуканими величинами. Випадкові похибки підлягають теорії похибок, але слід пам’ятати, що використання результатів останньої можливо тільки у випадку помітного розсіяння результатів вимірювань. Вимірювальні прилади, що використовуються в лабораторіях, часто дають систематичні похибки, які значно перевершують випадкові.

5.4.1. Абсолютна і відносна похибки

Абсолютною похибкою окремого виміру називають різницю між виміряним значенням g_і і середнім значенням декількох результатів вимірювань:

∆ g = g_і - < g >

Абсолютна похибка не характеризує якість вимірювань. Наприклад, абсолютна похибка вимірювання довжини 1 мм нічого не говорить нам про його точність. Якщо вимірювалася відстань 10 м., то точність результату слід визначати високою, проте при вимірюванні діаметра кульки в 10 мм така точність явно незадовільна. Для характеристики якості окремого виміру беруть на розгляд відносну похибку: відношення абсолютної похибки окремого виміру до вимірюваної величини. Абсолютні похибки можуть бути як позитивними, так і негативними, тому що частина вимірювань завжди матиме значення, більші за середні, а інша – менші.

При спрощенному методі врахування похибок часто діють так. Знаходять відношення середнього значення модуля абсолютної похибки

< ∆ g>=(| ∆ g₁|+| ∆ g₂|+…+| ∆ g_n|)/n,

до середнього значення вимірюваної величини, і цим відношенням характеризують точність вимірювань:

ε = < ∆ g> / < g >.

Можна знайти таку величину ∆g, що в середині інтервалу

[<g>- ∆ g, <g>+ ∆ g] (1)

завжди буде попадати задана частка результатів вимірювань. Звичайно ж, значення ∆ g не дорівнює середньому значенню модуля абсолютної похибки, про яку йшла мова вище. Якщо ми бажаемо, наприклад, щоб в певний інтервал потрапило 90% результатів вимірів, то таке значення ∆ g буде істотно більше середнього значення модуля абсолютної похибки. Інтервал (1) називають довірчим інтервалом, а частку результатів, що потрапляють в цей інтервал, надійністю. При безмежному числі вимірювань надійність наближається до так званої довірчої ймовірності. Постає питання: чи можна зменьшити інтервал (1), зберігаючи незмінною надійність? Відповідь на це та багато інших питань дає статистична теорія випадкових похибок.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: