Правильно Неправильно

2. При выборе масштаба необходимо помнить, что точность построения графика должна быть не ниже точности измерений.

3. На осях координат откладываются равноотстоящие друг от друга деления масштаба так, чтобы было удобно работать с графиком. Значения, полученные в эксперименте, не указываются.

Неправильно

Неудачно

Правильно

4. В конце координатных осей обязательно указываются условные обозначения откладываемых величин и, через запятую, их единицы измерения.

5. Экспериментальные значения величин (точки) отчетливо наносятся вместе с погрешностями - отрезками длиной в доверительный интервал, расположенными параллельно соответствующей оси, в виде: ┼, │, ─, ˥.

Если при построении кривой в выбранном масштабе доверительные интервалы не видны вдоль обеих осей координат, экспериментальные точки проставляются в виде маленьких кружочков (треугольников и т.д.) с центром в точке, соответствующей экспериментальным данным.

6. Экспериментальная кривая проводится плавно через доверительные интервалы всех или большинства экспериментальных точек так, чтобы экспериментальные точки наиболее близко и равномерно располагались с разных сторон кривой.

Правильно Неправильно

7. Если на графике изображается теоретическая кривая, то указывается формула, по которой она рассчитывается.

8. При изображении нескольких кривых на одном поле графика каждая из них нумеруется или выделяется каким-то другим способом. В свободной части поля даются соответствующие пояснения.

9. График должен содержать надпись, из которой было бы ясно физическое содержание представленной закономерности.

Ошибочная точность

Калькуляторы, ставшие в последние годы повсеместно доступными, несомненное благо, которое, однако, имеет и негативные стороны. Все ли понимают, сколько цифр нужно оставлять при умножении и делении на калькуляторе, если он показывает их восемь или даже двенадцать? И почти все студенты и даже аспиранты считают, что оставлять их нужно как можно больше. Это неверно!

Разберем простейший пример:

Измеренный радиус окружности равен 6 м. Найти ее длину.

Обычно дают расчет: С=2πR =2 3,14 6 м =37,68 м. Но четыре верные цифры - это очень высокая точность, в сотые доли процента, которая не так уж часто реализуется при измерениях. Откуда взяться такой высокой точности, если хотя бы одна величина, входящая в формулу, дана с точностью, на несколько порядков меньшей? Ведь в нашем примере она выражается всего одной цифрой. Так что корректный ответ таков: длина окружности " 38 м. А если необходим действительно точный ответ, то и данные в условии задачи должны быть с соответствующим числом знаков, скажем 6,00 м.

Правила округления проходят в средней школе. Они приведены во многих книгах, например в классическом "Справочнике по математике для инженеров и учащихся втузов" И. Н. Бронштейна и К. А. Семендяева. Но как-то так получилось, что сейчас этот маленький раздел (во всяком случае, в курсе математики) школьникам не преподают и уж подавно не упоминают в курсах высшей математики в вузах. Еще лет двадцать назад учащиеся и инженеры широко пользовались логарифмической линейкой, которая давала точность в две или три значащие (то есть верные) цифры и автоматически защищала вычислителя от фиктивной (иногда говорят - иллюзорной) точности, даже если он забывал правила округления. Но счетную линейку вытеснил технический прогресс, защита исчезла, и "эффект кажущейся точности" приобрел масштабы эпидемии.

Чтобы снизить его влияние, нужно следовать классическим правилам округления. В них основным понятием служит число значащих цифр, которое относится только к измеряемым, то есть случайным величинам. Оно считается слева направо, начиная с первой ненулевой цифры. Например, 0,004080 имеет четыре, а 4,0810^-3 - три значащие цифры множитель, имеющий 10 в кратной степени, не влияет на число значащих цифр, а лишь указывает выбранный масштаб величины, не приводя при этом к фиктивной точности. Еще пример. Расстояние 3,5 км = 3,5 10³ м - точное равенство, в котором слева и справа по две значащие цифры. Не так просто обстоит дело с равенством 3,5 км = 3500 м. Если это всего лишь приведение масштаба к другим кратным единицам - одно дело. Если же надо отразить непосредственный результат измерения - несколько иное. Ведь справа стоят четыре значащие цифры, а слева их две; поэтому, отражая результат, лучше ставить волнистый знак приближенного равенства. Нетрудно ощутить различную информационную и даже экономическую нагрузку в частях равенства. Число слева имеет абсолютную точность 50-100 м, а справа - 0,5-1 м, от половины до целого последнего "деления". Если такая высокая точность действительно нужна при измерении километровых расстояний, то ценность этого результата и стоимость его измерения гораздо выше, чем у числа слева.

Напомним главное правило округления: если производят умножение или деление, то в результате оставляют столько цифр, сколько их содержит наименее точная из измеренных величин, и обычно сохраняют еще одну запасную цифру. Заметим, что часто путают число значащих цифр с числом десятичных знаков, считая, что какую-то роль играет положение запятой в числе. Но запятая лишь указывает на принятый масштаб измерений и не задает числа значащих цифр. Например, 1,205 км = 1205 м; и в том и в другом случае число значащих цифр равно и, следовательно, они записаны с одинаковой точностью.

Обратим внимание на одну неожиданную трудность. Оказывается, в очень многих учебных книгах по математике приведены примеры, в которых точность измерительных данных в условии на несколько порядков ниже, чем точность в решении (!). Точность как бы способна возникать ниоткуда, и это прочно оседает в подсознании учащихся. Приведу только один пример из добротного во всех других отношениях "Руководства к решению задач по теории вероятностей и математической статистике" В. Е. Гмурмана. (Хотя подобных примеров можно найти сколько угодно во многих других учебниках, мы специально взяли книгу по теории вероятностей и статистике, которая как раз и призвана прививать идеологию случайных величин.)

Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна Р = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз.

Сама задача решена в принципе, разумеется, правильно. Но точность результата записана четырьмя цифрами: искомая вероятность равна 0,8882, тогда как правильной была бы запись 0,89. Запись в задачнике подразумевает точность в сотые доли процента. Откуда появляется такая точность, если в условии вероятность 0,8 задана только одной значащей цифрой и потому характеризуется точностью в десятки процентов? Поучительно вспомнить опыты выдающегося статистика К. Пирсона: когда симметричная монета подбрасывалась 12 тысяч раз, то частота падения ее на герб была 0,5012, а когда 24 тысячи раз - 0,5005. Мы видим, что даже при столь большом числе повторений опыта неслучайными становятся в первом случае лишь две цифры, а во втором с натяжкой их три. В большинстве же других видов механических испытаний число повторений гораздо ниже, ниже и точность результатов.

- Ну и что? - спросите вы. - Надо ли заниматься такими мелочами, вроде бы особых неприятностей от сохранения лишних цифр не возникает.

Это не так. И не просто потому, что вообще при анализе наблюдений человек должен стремиться к истине, а заблуждения могут нанести ущерб, даже если заранее не всегда ясно какой. Во-первых, если не знать, как правильно округлить результат, на какой цифре остановиться, то где гарантия, что вы не отрежете и верные цифры, ухудшив необходимую точность? Во-вторых, допустим, вы сохранили лишние, незначащие цифры, а результат нужно увеличить в очень большое число раз. Тогда случайный "довесок" или "недовесок" приведет к большой ошибке, которой можно было бы избежать (такая ситуация типична для астрономических задач). В-третьих, если в какие-то документы (описания, отчеты, протоколы испытаний) попадут незначащие цифры, невозможно будет в точности воспроизвести исходные величины. Одним словом, освоить несложные правила округления случайных величин все-таки следует.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: