Устойчивость системы автоматического регулирования ресивера

Вывести дифференциальное уравнение ресивера без регулятора и с регулятором, давление в котором поддерживается постоянным с помощью регулятора давления, изменяющего характеристику подвода (компрессора) в зависимости от характеристики отвода (сети).

а) без регулятора:

Рассмотрим работу поршневого компрессора при от­сутствии регулятора, предполагая, что сжатый газ поступает в кол­лектор или газосборник, а затем в сеть и далее к отдельным по­требителям. Массовый расход газа, поступающий из компрессора в газосборник, обозначим , а утекающий из него в пневматиче­скую сеть .

Под влиянием внешних воздействий установившийся режим может быть нарушен. Чаще всего это происходит в результате изменения нагрузки, т. е. потребления сжатого газа сетью. Та­кое воздействие называется главным или основным возмущением. Возмущающие воздействия могут возникать вследствие взаимо­действия системы с окружающей средой. Например, в поршневом воздушном компрессоре при падении давления всасываемого воз­духа или увеличении его температуры происходит уменьшение массового расхода нагнетаемого воздуха. Такое воздействие, как правило, вызывает меньшие возмущения и потому его называют дополнительным. Режимы работы регулируемого объекта между двумя установившимися режимами называют переходными. Под влиянием возмущающих факторов в регулируемом объ­екте произойдет отклонение величины регулируемого параметра от предписанной. Из материального баланса газа в газосборнике находим:

; (1)

где, V, - объем и плотность газа в газосборнике;

-время.

При установившемся режиме это уравнение будет иметь вид

; (2)

Решая совместно уравнения (1) и (2), получим

(3)

Обозначим: .

- установившийся режим; ;

Уравнение (3) с учетом принятых допущений можно записать в виде

(4)

; (5)

Заменив в уравнении (4) и зависимостями из уравнения (5) получим

(6)

- относительное изменение регулируемого параметра.

Заменяя переменный регулируемый параметр P безразмерной величиной , получим

После замены переменных уравнение (6) примет вид

(7)

В результате преобразований уравнение (7) может быть преобразовано

Здесь

- время переходного процесса; - плотность газа в ресивере до появления возмущающих воздействий.

Решением дифференциального уравнения (8) является вы­ражение

Если величина относительного отклонения регулируемого па­раметра при увеличении времени до бесконечности стремится к нулю, то регулируемый параметр р стремится к постоянной величине. Такие системы называют устойчивыми.

Если величина при стремлении t к бесконечности также стре­мится к беспредельному увеличению, то такие переходные ре­жимы называются расходящимися, а системы неустойчивыми.

Последнее справедливо при .

Из уравнения (8) следует, что величина положительна при выполнении неравенства

Статические характеристики компрессора в зависимости от давления представлены на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1. Статические характеристики:

1-подвода газа; 2- отвода газа из газосборника

Эти характеристики в координатах , близки к линей­ным; снижается с увеличением , а отвод массы газа - увеличивается; под следует понимать избыточное давление над атмосферным. Пересечение характеристик подвода и отвода указывает рабочую точку при устойчивом режиме, т.е. при равенстве и и давлении . Касательные к кривым и в точке пересечения составляют с осью абсцисс углы и , тангенсы которых равны

При постоянном давлении всасываемого газа производитель­ность компрессора снижается с увеличением и . Расход газа, вытекающего из газосборника, увеличивается с ро­стом и . Следовательно, для поршневых компрессо­ров при справедливо неравенство

В газосборнике при поступлении в него газа из компрессора и отводе его в сеть, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости, процесс регулирования давления будет устойчивым. Такие объекты называют объектами с саморегулированием. После различных возмущений, действующих на объект, возни­кает сходящийся переходный процесс, который заканчивается новым устойчивым режимом. Этот режим будет находиться на характеристике подвода массы , так как может изменяться только . Объекты, обладающие способностью саморегулиро­вания, называются статическими.

б) с регулятором

Рассмотрим простейшую систему прямого регулирований давления поршневого компрессора, предназначенную для автоматического поддержания давления газа в газосборнике (рис. 2.2). Такие системы называются си­стемами стабилизации.

1-регулируемый объект; 2- чувствительный элемент; 3- связь чувствительного элемента с регулирующим органом; 4 – регулирующий орган

Рисунок 2.2.– Схема стабилизации давления в газосборнике

Газ из трубопровода линии всасывания поступает в ком­прессор и нагнетается в газосборник. Измерение давления газа в газосборнике осуществляется мембранным чувствительным элементом.

Изменение давления в газосборнике сопровождается различным прогибом мембраны и перемещением жестко связанного с ней штока. Шток связан рычагом первого рода с задвижкой, уста­новленной на всасывающем трубопроводе. Перемещение задвижки изменяет сопротивление движению всасываемого в компрессор газа. При увеличении сопротивления давление газа на входе в компрессор снижается, что приводит к уменьшению производительности компрессора. При увеличении давления в газосборнике мембрана чувствительного элемента прогнется сильнее, шток поднимется вверх и заставит с помощью рычажной связи опуститься вниз задвижку. Сопротивление движению газа уве­личится и уменьшится подача газа в газосборник . Массовый расход газа сравняется с приходом массы газа в газосборник; давление газа в газосборнике стабилизируется.

Характеристики подвода массы газа в газосборник при положениях заслонки в трубопроводе приведены на рис. 3. Линии ab, cd и eg изображают размерные характеристики отвода газа из газосборника.

Рисунок 2.3 - Схема поворота характеристики компрессора регулятором.

Пусть в рассматриваемый период времени имеем характери­стики подвода и отвода ab. Устойчивый режим работы соответ­ствует точке 1. Вследствие изменения нагрузки характеристика отвода стала cd. Возник переходный режим. Вдоль характеристики подвода давление газа должно расти до точки пересечения харак­теристики подвода и отвода cd, т. е. до точки 2. При измене­нии (повышении) давления шток чувствительного элемента под­нимается вверх и переместит задвижку в положение . Последнее вызовет понижение давления и плотности всасываемого газа в компрессор. Производительность снизится и новый устойчивый режим будет соответствовать точке пересечения характеристики подвода с открытием , и отводом cd, т. е. точке 3.

Выведем уравнения регулируемого объекта при наличии си­стемы регулирования. Изменение массы газа в газосборнике в этом случае также описывается уравнением (3). Величина в данной системе регулирования кроме давления в газосборнике зависит от положения дроссельной заслонки , изменяющей по­ступление массы газа в компрессор Расход газа из газосборника зависит только от давления газа в нем . Изменение массового расхода газа, поступающего в газосборник, определяется по формуле

Здесь и — частные производные в момент устойчивого состояния работы установки; а . Изменение массового расхода газа, выходящего из газосборника, определяется по формуле

(10)

Подставив в уравнение (3) величины , и из уравне­ний (9) и (10), получим

(11)

Заменяя размерные переменные безразмерными, находим

где, и — максимальное и минимальное открытие вса­сывающего трубопровода компрессора ( соответствует полному закрытию трубопровода и в большинстве случаев равна нулю; соответствует полному открытию трубопровода;

В системах регулирования добиваются, чтобы изменение поло­жения регулирующего органа линейно изменяло расход газа в трубопроводе. В этом случае величина может быть выражена уравнением . После замены переменных в уравнении (11) получим

(12)

Уравнение (12) после преобразований запишем в виде

(13)

;

где — масса газа в газосборнике при установившемся режиме.

Уравнение регулируемого объекта (13) содержит две пере­менные и и недостаточно для определения движения элемен­тов системы автоматического регулирования.

Перемещение конца штока чувствительного элемента z в за­висимости от величины регулируемого параметра р представим в безразмерной форме

(14)

где, и — положение штока чувствительного элемента при соответствующих регулируемых параметрах и

Обозначим

(15)

где, - относительное перемещение чувствительного элемента. Правую часть уравнения (14) можно представить, поделив числитель и знаменатель на в виде

где — относительное отклонение регулируемой величины.

Обозначим

(16)

где, — относительная величина неравномерности регулируемого параметра.

Из уравнений (14)—(16) получим относительное переме­щение чувствительного элемента в виде

(17)

Однако и этого уравнения недостаточно для описания движе­ния элементов системы регулирования, так как два полученных уравнения содержат три неизвестные величины. Шток чувстви­тельного элемента в данной схеме регулирования связан рычагом первого рода с перемещением регулирующего органа задвижки. Эта связь может быть выражена зависимостью

(18)

Из уравнений (15) и (18) получим уравнение связи:

(19)

С учётом соотношений (17) и (19) уравнение (13) можно представить виде:

Эта зависимость называется уравнением регулируемого пара­метра. С точки зрения математики оно является линейным диф­ференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэф­фициентами. Его решение имеет вид

Устойчивость системы, определяемая выражением , обеспечивается при удовлетворении неравенства

(20)

Знак соответствует знаку частной производной , ко­торая положительна, так как при прочих равных условиях с уве­личением растет площадь прохода и расход газа через трубо­провод. Величина всегда положительна, поскольку . Следовательно, второе слагаемое неравенства (20) всегда положительно. Величина в компрессорных машинах на положительна.

Время переходного процесса по измерению давления:

Приведем характеристики сети и КМ в графическом виде

Рисунок 2.4 – График регулирования КМ

Выведем дифференциальные уравнения характеристик сети и КМ. Для этого воспользуемся программным обеспечением SigmaPlot 10.0.

Для линий, характеризующих графики характеристик получили уравнения функций (более подробная информация об их свойствах см. Приложение 1):

где х – объемный расход,

Найдем производные от функций:

Решим уравнения с производными:

При этом получим, что:

Проверим условие устойчивости системы:

Условие выполняется, следовательно система - устойчива.

Определим время переходного процесса по измерению давления:

Делаем вывод: величина времени переходного процесса стремится к нулю. Это указывает на малый объем подобранного ресивера, то есть для увеличения времени переходного процесса следует увеличить объем ресивера и уменьшить давлении р₀.

3 Составление и анализ функциональной схемы САР участка пневмосети

Функциональные схемы автоматизации компрессорной установки должны включать следующие подсистемы: контроль, сигнализация, блокировка и защита газового тракта, системы охлаждения газа, системы смазки и промывки механизма движения и уплотнений приво­да двигателя компрессора и электродвигателей вспомогательных ме­ханизмов, дистанционное и автоматическое управление пус

1. На функциональной схеме надо показать: технологическую функциональную схему компрессорной установки или ее систем, при­боры, средства автоматизации и управления и связи между ними, необходимые пояснения к схеме.

2. Технологическая функциональная схема должна разъяснять устройство, принцип работы компрессорной установки и взаимодейст­вия ее систем (газового тракта, системы охлаждения, смазки и т.д.). Схема должна включать ступени сжатия, газопроводы всасываю­щего и нагнетательного тракта, межступенчатые коммуникации, масло­проводы, водопроводы, вспомогательную аппаратуру и регулирующую арматуру. Схемы выполняют без соблюдения масштаба. Действительное пространственное расположение частей установки не учитывается. Графические обозначения элементов схем выполняют в соответствии с действующими стандартами.

3. Приборы, средства автоматизации и управления и связи меж­ду ними изображаются с помощью условных обозначений. Условное обозначение прибора, средства автоматизации или управления долж­но представлять собой построенное определенным образом сочетание букв латинского алфавита, заключенное в окружность и соединенное линией связи с соответствующим местом контроля, объектом регули­рования или управления. В верхней части окружности наносят обозначения измеряемой величины и функционального призна­ка прибора.

Порядок расположения буквенных обозначений (слева направо) должен быть следующим:

– обозначение основной измеряемой величины;

– обозначение, уточняющее основную измеряемую величину;

– обозначение функционального признака прибора.

Дополнительные условные обозначения преобразователей сигна­лов и вычислительных устройств, расшифровывающие вид преобразова­теля или операции, выполняемые вычислительным устрой­ством, наносятся справа от графического изображения прибора.

В нижней части окружности наносят позиционное обозначение (цифровое или буквенное), служащее для нумерации комплекта изме­рений или регулирования по заказной спецификации. Приборы и сред­ства автоматизации, расположенные на щитах, пультах и т.д., пока­зывают в прямоугольниках. Приборы и средства автоматизации, кото­рые расположены вне щитов и кон

В заказной спецификации указывают номер позиционного обо­значения, наименование контролируемого или регулируемого параметра, предельные значения параметра, место установки, наименование и характеристику прибора, тип, марку или модель прибора, класс точности, количество приборов, предприятие-изготовитель.