Критерий согласия Колмогорова

Этот критерий применяют в том случае, когда функция непрерывна. Он основан на проверке близости теоретической и эмпирической (выборочной) функций распределения.

В качестве статистики критерия рассматривается величина

,

которую называют статистикой Колмогорова. Она представляет собой максимальное отклонение эмпирической функции распределения от гипотетической функции распределения и является по сути случайной величиной. Если гипотеза справедлива, то по теореме Бернулли с увеличением функция сходится по вероятности к , поэтому функция при не должна сильно отклоняться от нуля. Отсюда следует, что критическую область критерия, основанного на статистике , следует задавать в виде .

Гипотеза отвергается, если величина окажется неправдоподобно большой, но для этого необходимо знать распределение статистики при гипотезе . Замечательное свойство состоит в том, что если , т.е. гипотетическое распределение указано правильно, то закон распределения статистики оказывается одним и тем же для всех непрерывных функций . Он зависит только от объема выборки .

Теорема Колмогорова утверждает, что при справедливости гипотезы величина (эта величина есть функция распределения статистики ) при () имеет предел, и дает его выражение:

,

где – функция распределения Колмогорова. Ее значения можно взять из таблиц. Критическую границу можно полагать равной , где . В этом случае . Таким образом, при заданном уровне значимости число определяют из соотношения . Значение критической границы можно находить из таблиц по заданному уровню значимости . Например, при имеем и при .

Тогда алгоритм проверки гипотезы выглядит следующим образом. По исходной выборке надо вычислить значение статистики . Для практического применения годится формула

.

Здесь , , …, – вариационный ряд данной выборки (в точках происходят скачки функции ). Если значение статистики , то гипотезу отвергают. В противном случае делают вывод о том, что статистические данные не противоречат гипотезе.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: