Формальная постановка задачи.

Дано у-ние:

Первая производная f(x)=x+3lgx-5+0, в интервале [1;5]

x=3,404_022_669_1

Уточнение корня методом касательных (метод Ньютона).

Метод касательных, связанный с именем И.Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Предположим, что функция f(x), имеющая корень на отрезке [a; b], дифференцируема на этом отрезке и ее производная f¢(x) не обращается на нем в нуль. Возьмем произвольную точку х₀ проведем касательную к графику функции f(x) в этой точке и запишем уравнение касательной:

y=f(x₀)+f¢(x₀)(x-x₀) (7)

Найдем точку пересечения касательной с осью абсцисс – х₁. Для определения координаты этой точки можем использовать уравнение

f(x₀)+f¢(x₀)(x-x₀)=0

Таким образом,

x₁=x₀- (8).

Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику функции в точке х₁ и найдем точку пересечения этой касательной с осью Ох (см. рис.1):

х₂=x₁-

Продолжая этот процесс, получим последовательность {х_n}, определенную с помощью рекуррентной формулы:

x_n+1=x_n- , n=0,1,2,… (9).

3.Данные

4.Алгоритмизация

5.Программирование

uses Crt;

Var xn,xn1,a,b,c: real;

function f1(x:Real):Real; {Функция}

begin

f1:=x+3*ln(x)/ln(10)-5;

end;

function f2(x:Real):Real; {Производная функция}

begin

f2:=1+3/(x*ln(10));

end;

begin

a:=1;

b:=5;

c:=0.00000001;

writeln(' A=',a,' B=',b);

writeln (Точность вычислений c=',c);

xn:=a;

xn1:=xn-f1(xn)/f2(xn);

Writeln('xn=',xn,' f(xn)=',f1(xn));

while (ABS (f1(xn))>c) and (xn<=b) do

begin

xn:=xn1;

xn1:=xn-f1(xn)/f2(xn);

Writeln('xn=',xn,' f(xn)=',f1(xn));

end;

writeln ('xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',f1(xn1));

Readln;

end.

6.Испытание программы
1)eps=0.000001 xn+1=3.40402266915563 f(xn+1)=0

2)eps=0.1 f(xn+1)=-2.89425316459813E-5

7.Заключение

Программа отлажена и работает без сбоев.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: