Любая непрерывная функция, спектр которой не содержит частот

выше , полностью определяется своими отсчетами, взятыми через интервал времени . ( Теорема Котельникова )

Временные диаграммы непрерывного сигнала x(t) и дискретизированного x _д(t) имеют вид:

x(t)

t

Dt 2Dt 3Dt 4Dt Рис. 3.1

x_д(t)

0 Dt 2Dt 3Dt 4Dt t

Важно, что не надо передавать непрерывно исходный сигнал x(t),

достаточно передавать отсчёты x(kDt). Это первый шаг перехода от

непрерывного сигнала к цифровому. С точки зрения математики теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда:

(3.1)

Ряд Котельникова – это разложение сигнала в ряд по ортого-

нальным функциям .

(3.2)

Теоретически дискретизация осуществляется с помощью d-импульсов. Временная диаграмма одиночного d- импульса имеет вид:

u(t)

d(t-a)

Рис. 3.2 0 a t

Спектр одиночного - импульса получим, используя преобразование Фурье:

Использовано
"фильтрующее" свойство дельта-функций:

Следовательно, спектр одиночного дельта-импульса имеет вид:

S(jw)

Рис. 3.3

w

Чтобы получить отсчёты функции перемножим функцию на периодическую последовательность - импульсов с периодом Т=Dt. Временная диаграмма периодической последовательности дельта-импульсов имеет вид:

u_d(t)

d(t+4Dt) d(t+3Dt) d(t+2Dt) d(t+Dt) d(t) d(t-Dt) d(t-2Dt) d(t-3Dt)

.......

-4Dt -3Dt -2Dt -Dt 0 Dt 2Dt 3Dt 4Dt t

Рис.3.4

Так как сигнал периодический, то его спектр будет дискретным.

(3.3)

;

Т =D t; -частота дискретизации.

Спектр периодической последовательности - импульсов в соответствии с формулой для U(t) имеет следующий вид:

S(jw)

1/Dt Рис.3.5

...........

t

--3w_д -2w_д -w_д 0 w_д 2w_д 3 w_д w

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: