ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Классический метод анализа линейных цепейРассмотрим применимость классического метода на конкретных примерах. Пусть к цепи (двухполюснику), показанной на рис. 1.3,а, приложено напряжение, изменяющееся по гармоническому закону: , (1.1) где Um – амплитуда, – круговая частота, – частота, Т – период, – начальная фаза напряжения. Требуется установить зависимость между напряжением и током в цепи. Для этого составим уравнение по второму закону Кирхгофа: , где ; ; .
Рис. 1.3. Последовательная RLC цепь: а – двухполюсник; б – четырехполюсник Функцию (1) можно записать в следующем виде , (1.2) где – комплексная амплитуда напряжения; Re – оператор, указывающий, что u(t) равно реальной (вещественной) части показательной формы записи комплексной величины. Применяя формулу Эйлера для выражения в скобках: , получаем из (1.2) выражение (1.1). Аналогично этому представлению запишем выражение для тока в цепи , (1.3) где – комплексная амплитуда тока, – начальная фаза тока. С учетом представления напряжения и тока в комплексной форме записи: ; , – второе уравнение Кирхгофа примет следующий вид: (1.4) где точка сверху означает комплексную величину: ; ; ; . С учетом формы записи величин, входящих в выражение (1.4), получаем , (1.5) где (1.6) полное сопротивление цепи (импеданс цепи). Выражение (1.5) есть закон Ома в комплексной форме записи. При выводе этого выражения временной множитель сократился, остались только комплексные амплитуды. При необходимости временной множитель может быть всегда восстановлен. Полное сопротивление представим в показательной форме записи: (1.7) где – модуль полного сопротивления; – аргумент полного сопротивления. С учетом (1.7) выражение (1.5) запишем в виде: . (1.8) Если в выражении (1.6) Х = 0, то цепь имеет активный характер и . При Х ≠ 0 в показателе выражения (1.8) появляется слагаемое характеризующее реакцию цепи на приложенное напряжение. С учетом этого замечания выражение (1.8) запишем в виде: . (1.9) Умножив обе части выражения (1.9) на временной множитель , перейдем к вещественной форме записи через оператор Re[]: . (1.10) В выражении (1.10) начальный фазовый сдвиг тока в цепи обусловлен реакцией цепи на приложенное напряжение, то есть наличием индуктивности и емкости. Если в цепи нет индуктивности, то Х имеет отрицательное значение и ток отстает по фазе от приложенного напряжения. Если в цепи нет емкости. то Х имеет положительное значение и ток опережает по фазе приложенное напряжение. В общем случае Х зависит от частоты, и цепь имеет индуктивный характер в области частот и емкостной характер в области частот , где – резонансная частота, при которой и равна , . (1.11) Следовательно, на резонансной частоте = 0 и цепь имеет активный характер, при этом между приложенным напряжением и током в цепи нет фазового сдвига. Изложенный метод получения выражения (1.5) называется методом комплексных амплитуд. Рассмотренная в качестве примера на рис. 1.3,а цепь является цепью второго порядка. Порядок этой цепи определяет дифференциальное уравнение или . (1.12) На рис. 1.3, б та же цепь представлена в виде четырехполюсника. При известном токе в цепи напряжение на выходе равно: ; ; ; . (1.13) С учетом (1.13) выражение (1.12) запишем в виде: (1.14) В общем случае любая сложная цепь описывается следующим дифференциальным уравнением: . (1.15) Для линейных цепей все коэффициенты an,…a0; bm…b0 – вещественные постоянные величины. Будем полагать, что uвх – заданный входной сигнал. Тогда правая часть выражения (1.15) известна. Следовательно, анализ отклика (реакции) линейной цепи на известное входное воздействие сводится к решению линейного дифференциального уравнения n-ого порядка. К линейным цепям применим принцип суперпозиции, суть которого в следующем: выходной сигнал на сложное (суммарное) воздействие равен алгебраической сумме выходных сигналов на простые воздействия, на которые раскладывается сложное воздействие. В математической форме этот принцип записывается так: (1.16) где В – оператор, характеризующий реакцию линейной цепи на входной сигнал. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|