Закон рациональности двойных отношений

(закон Аюи)

Закон рациональности двойных отношений является важнейшим законом кристаллографии, из которого вытекает всё учение о кристаллографических символах, применяемых для определения относительного расположения граней и рёбер кристаллов. Закон этот был впервые сформулирован французским кристаллографом Аюи (1723-1826) и поэтому его часто называют “законом Аюи”. Сущность закона Аюи состоит в следующем.

Выберем в кристалле три непараллельных ребра, пересекающихся в одной точке (рис. 4.1). Пусть две непараллельные грани пересекают все три ребра первая грань в точках А₁,В₁,С₁, а вторая в точках А₂,В₂,С₂.

Таким образом грань А₁В₁С₁ отсекает на ребрах О₁,О₂,О₃ отрезки ОА₁, ОВ₁ и ОС₁, а грань А₂В₂С₂ - отрезки ОА₂, ОВ₂ и ОС₂.

Разделим отрезки отсекаемые на рёбрах одной гранью, на соответственные отрезки другой грани, а затем возьмём отношение трёх полученных дробей. В результате получим двойные отношения отрезков, которые можно заменить отношениями:

ОА₂/ ОА₁: ОB₂/ ОB₁: ОC₂/ ОC₁=m:n:p

где m,n,p- целые взаимно простые числа.

Это математическое выражение закона рациональности: “ Двойные отношения отрезков, отсекаемых двумя любыми гранями кристалла на трёх пересекающихся рёбрах его, равны отношениям целых и сравнительно небольших взаимно простых чисел ”.

Закон Аюи объясняется решётчатым строением кристаллов. Грани на рис. 4.1 соответствуют плоским сеткам, а рёбра рядам решётки.

Если а₀ – промежуток ряда О1, b₀-промежуток ряда О2, с₀-промежуток ряда О3 (рис. 4.2), то отрезки сетки A₁B₁C₁ равны:

ОА₁=r а₀, ОB₁=s b₀, ОC₁=t c₀,

где r,s,t- целые числа.

Отрезки сетки A₂B₂C₂ равны:

ОА₂=u а₀, ОB₂=v b₀, ОC₂=w c₀,

где u,v,w- целые числа.

Если плоские сетки проходят через узлы, которые располагаются вне рядов, то в этом случае отрезки, отсекаемые плоскими сетками, состоят из дробного, но обязательно рационального числа промежутков.

В формулировке закона Аюи указывается, что двойные отношения отрезков равны отношениям сравнительно небольших целых чисел. Этот момент объясняется законом Бравэ.

Предположим, что два непараллельных ребра пересекаются различными гранями. Пусть все они отсекают на ребре отрезок, равный одному промежутку ряда. Прямые А₁В₁, А₁В₂ и т. д. отвечают следам всех этих граней на плоскости (рис. 4.3).

Пользуясь законом Аюи, можно теоретически вывести все возможные грани кристалла.

Символы граней

Положение граней кристаллов определяется относительно некоторой системы координат, выбираемой так, чтобы координатные оси были параллельны рядам пространственной решётки.

Направления в кристалле, параллельные рядам его пространственной решётки принятые за оси координат, называют кристаллографическими осями.

Отрезки, отсекаемые гранью кристалла на кристаллографических осях, называют параметрами этой грани.

Грань, линейные размеры которой по всем кристаллографическим осям приняты за единицы измерения параметров остальных граней кристаллов, называется единичной гранью.

В общем случае каждая грань имеет свой масштаб.

На рис. 4.4 грань А₀В₀С₀ принята в качестве единичной грани. Найдём число единичных отрезков

ОА_x/ ОА₀=р; ОB_x/ ОB₀=q; ОC_x/ ОC₀=r, где

числа p,q,r – числовые параметры грани.

Если взять обратное отношение имеем:

ОА₀/ ОА_x : ОB₀/ ОB_x : C₀/ОC_x= = h:k:l

где h,k,l-целые взаимно простые числа.

Эти числа называются индексами грани и служат характеристикой её положения в кристаллографической системе координат.

Индексами грани кристалла называются целые взаимно простые числа, обратно пропорциональные числовым параметрам этой грани.

Совокупность индексов данной грани, взятых в круглые скобки образует символ грани.

Как всякие координатные оси кристаллографические оси имеют положительные и отрицательные концы. В общем случае положительный конец направляется в сторону наблюдателя, вторая ось располагается горизонтально и её положительный конец направляют слева направо, а третью ось ориентируют вертикально вверх.

Частные случаи символов граней (рис. 4.4):

1. Символ (111) всегда отвечает единичной грани.

Символ единичной грани - (111),хотя, как уже указывалось выше, единичные отрезки на кристаллографических осях могут быть не равны друг другу.

2. В символе грани, параллельной какой-либо кристаллографической оси, индекс, соответствующий этой оси равен нулю.

3. Грань, пересекающая одну кристаллографическую ось и параллельная двум другим, имеет символ, один индекс которого равен единице, а два других - нулю.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: