Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Кривые второго порядка на плоскости




К кривым второго порядка, рассматриваемым в курсе аналитической геометрии, относятся парабола, гипербола, окружность и эллипс. Любая кривая второго порядка в общем виде описывается уравнением второй степени с двумя переменными:

Ах2+2Вху+Су2+2Dx+2Еу+F =0. (7.1)

Коэффициенты А, В и С не равны нулю. Указанные выше кривые второго порядка являются частными случаями данного уравнения.

Парабола

Изучение кривых второго порядка, описываемых уравнением (1.1), начнем с параболы.

Параболой называется множество всех точек, расстояния от которых до данной точки, называемой фокусом, и до данной прямой, называемой директрисой, равны.

Уравнение параболы получается из уравнения кривой второго порядка (1.1), если коэффициент В =0, а также один из коэффициентов А или С равен нулю, для определенности пусть А =0, С ≠0, то есть:

Су2 + Dx+Еу+F =0. (7.2)

Это уравнение параболы с осью симметрии, перпендикулярной оси ординат. При А ≠0, С =0 получим:

Ах2+Dx+Ey+F=0. (7.3)

В данном случае это — уравнение параболы с осью симметрии, перпендикулярной оси абсцисс.

Уравнения (7.2) и (7.3) представляют собой общие уравнения параболы. Каноническими уравнениями параболы являются:

у2=2рх, где р — параметр параболы, расстояние от фокуса до директрисы, для кривой с горизонтально расположенной осью;

х2 = 2ру — для параболы с вертикально расположенной осью. Схематичное изображение параболы представлено на рисунке.

В MS Excel построение параболы осуществляется аналогично построению прямой. При этом уравнение параболы должно быть предварительно приведено к виду у = f(x) (разрешено относительно переменной у).

Пример 7.2. В качестве примера рассмотрим построение параболы вида у = х2 в диапазоне х Î[–3; 3] с шагом D=0,5.

Решение. Задача построения параболы (как и в случае прямой) разбивается на несколько этапов. Пусть открыт чистый рабочий лист (в противном случае — команда ВставкаЛист).

Этап 1. Ввод данных. Для построения параболы необходимо составить таблицу данных (х и у). В рассматриваемом примере первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 — слово Парабола.

Начнем с введения значений аргумента. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (-3). В ячейку A3 вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (–2,5). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А14).

Далее вводим значения параболы. В ячейку В2 вводим ее уравнение — = А2*А2. Затем автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В14.

В результате должна быть получена следующая таблица исходных данных.

Этап 2. Выбор типа диаграммы. На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указать тип диаграммы.

В рассматриваемом примере выберем тип — График, вид — График с маркерами (левую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

Этап 3. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне М астер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных, то есть ввести ссылку на ячейки, содержащие данные, которые необходимо представить на диаграмме.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (В1), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на диаграмму данные (В14), затем отпустить левую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: =Лист1!$В$1:$В$14. Здесь наиболее важным для нас является указание диапазона В1:В14, что подтверждает правильное введение интервала данных.

Если с первого раза не удалось получить требуемую запись в поле Диапазон, действия необходимо повторить.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. В примере значения точек параболы расположены в столбце, поэтому переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах (черная точка должна стоять около слова столбцах).

Этап 4. Ввод подписей по оси X (горизонтальной). В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем мыши) и в поле Подписи оси X указать диапазон подписей (в примере — Аргумент). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и, наведя указатель мыши на левую верхнюю ячейку подписей (А2), нажать левую кнопку мыши, затем, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось X подписи (А14), затем отпустить левую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: =Лист1!$А$2:$А$14. Здесь, как и для данных, наиболее важным для нас является указание диапазона А2:А14, что подтверждает правильное введение интервала подписей.

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку Далее.

Этап 5. Введение заголовков. В третьем окне Мастер диаграмм (шаг 3 из 4): параметры диаграммы требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув па ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название График параболы. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 6. Выбор места размещения. В четвертом окне Мастер диаграмм (шаг 4 из 4): размещение диаграммы необходимо указать место размещения диаграммы. Для этого переключатель Поместить диаграмму на листе установить в нужное положение (на отдельном или текущем листе). В примере устанавливаем переключатель в положение имеющемся (щелчком указателя мыши черную точку устанавливаем слева от слова имеющемся).

Этап 7. Завершение. Если диаграмма в демонстрационном поле имеет желаемый вид параболы, необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае следует нажать кнопку Назад и изменить установки.

Нажимаем кнопку Готово и на текущем листе должна появиться следующая диаграмма.

 

Гипербола

Кривая второго порядка (7.1) называется гиперболой, если коэффициенты А и С имеют противоположные знаки, то есть АС< 0.

Характеристическое свойство гиперболы выражается в том, что она является множеством точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (F1, F2), называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

c 2а2 = b2, а<с.

Здесь с расстояние от начала координат до фокусов, а — расстояние от начала координат до вершин гиперболы.

e =c/a>1 — эксцентриситет,

y= ±(b/a)x – асимптоты гиперболы.

Схематичное изображение гиперболы представлено на рисунке.

В простейшем случае уравнение гиперболы имеет вид

y=k/x

Задача построения гиперболы аналогична построению параболы.

Пример 7.3. В качестве примера рассмотрим построение гиперболы

y=1/x

в диапазоне х Î[0,1; 10,1] с шагом D=0,5.

Решение. Пусть открыт чистый рабочий лист (в противном случае — команда ВставкаЛист).

Этап 1. Ввод данных. Для построения гиперболы необходимо составить таблицу данных (х и у). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 — слово Гипербола. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (0,1). В ячейку A3 вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (0,6). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ,автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А22).

Далее вводим значения гиперболы. В ячейку В2 вводим ее уравнение — = 1/А2. Затем автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В22.

В результате должна быть получена таблица данных для построения гиперболы.

Этап 2. Выбор типа диаграммы. На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы выберем тип — График, вид — График с маркерами (левую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

Этап 3. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (В1), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на диаграмму данные (В22), затем отпустить левую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: = Лист1!$В$1:$В$22.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах (черная точка должна стоять около слова столбцах).

Этап 4. Ввод подписей по оси X (горизонтальной). В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем мыши) и в поле Подписи оси X указать диапазон подписей (в примере — Аргумент). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и, наведя указатель мыши на левую верхнюю ячейку подписей (А2), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось X подписи (А22), затем отпустить левую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: = Лист1!$А$2:$А$22.

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку Далее.

Этап 5. Введение заголовков. В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы иназвания осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название: График гиперболы. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 6. Выбор места размещения. В четвертом окне Мастер диаграмм (шаг 4 из 4): размещение диаграммы необходимо указать место размещения диаграммы. Для этого переключатель Поместить диаграмму на листе установить в нужное положение (на отдельном или текущем листе). В примере устанавливаем переключатель в положение имеющемся (щелчком указателя мыши черную точку устанавливаем слева от слова имеющемся).

Этап 7. Завершение. Необходимо нажать кнопку Готово.

На текущем листе должна появиться диаграмма.

 

Окружность

Общее уравнение окружности имеет следующий вид:

Ах2 + Ay2+2Dx+2Еу+F= 0. (7.4)

Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной, называемой центром.

Обычно общее уравнение (7.4) приводят к виду нормальных уравнений окружности:

х22 = R2 уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R.

(х–а)2+(у–b)2=R2 уравнение окружности с центром (a; b).

Задача построения окружности по сравнению с параболой и гиперболой имеет небольшие отличия, связанные с приведением уравнений к виду у=f(x).

Пример 7.4. В качестве примера рассмотрим построение верхней полуокружности х22 =4 в диапазоне х Î[–2; 2] с шагом D=0,25.

Решение. Открываем чистый рабочий лист (команда ВставкаЛист).

Этап 1. Ввод данных. Составляем таблицу данных и у). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 — слово Окружность. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (–2). В ячейку A3 вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (–1,75). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А18).

Далее вводим значения верхней полуокружности. В ячейку В2 необходимо ввести ее уравнение, разрешенное относительно у=Ö(4–х2). Для этого табличный курсор необходимо поставить в ячейку В2 и на панели инструментов Стандартная нажать кнопку ВставкаФункция …(fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций — шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем вид Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию Корень. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Корень. В рабочее поле вводим подкоренное выражение: = 4–А2*А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В18.

В результате должна быть получена таблица данных для построения верхней полуокружности.

Этап 2. Выбор типа диаграммы. На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы выберем тип — График, вид — График с маркерами (левую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

Этап 3. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (В1), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые надиаграмму данные (В18), затем отпустить левую кнопку мыши.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах (черная точка должна стоять около слова столбцах).

Этап 4. Ввод подписей по оси X (горизонтальной). В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем мыши) ив поле Подписи оси X указать диапазон подписей (в примере — Аргумент). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и, наведя указатель мыши на левую верхнюю ячейку подписей (А2), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось X подписи (А18), затем отпустить левую кнопку мыши.

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку Далее.

Этап 5. Введение заголовков. В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название: График полуокружности. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 6. Завершение. Необходимо нажать кнопку Готово.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма полуокружности.

Эллипс

Кривая второго порядка (1.1) называется эллипсом, если коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки, то есть АС> 0. Если коэффициент В также равен нулю, то это эллипс с осями, параллельными координатным осям. Если, кроме того, коэффициенты D = Е =0, то центр эллипса находится в начале координат.

Обычно в качестве определения эллипса используют его характеристическое свойство: эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса может быть получено из его определения.

Обозначим постоянную сумму расстояний от фокусов до точек эллипса 2а, а расстояние между фокусами — 2с.

Систему координат введем следующим образом: ось х проходит через фокусы, ось у — через середину отрезка F1,F2.

Как видно из рисунка — 2 а > 2с и а > с.

1. По определению: F1M+F2M=2a

2. Запишем это равенство в координатной форме:

(7.5)

3. Преобразуем уравнение (7.5):

4. Возведем обе части в квадрат:

;

;

;

.

5. Возведя обе части в квадрат, получим:

х2с2–2а2хс+а42х2–2а2хс+а2с22у2;

х2с2–х2а22У22с2–а4.

6. Группируя, получим:

x2(c2–a2)+a2y2+a2(c2–a2).

 

Пусть с2–а2=b2, тогда

 

7. Получаем

каноническое уравнение эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется величина

e = c/a.

Так как а>с, то c/a <1, то есть для эллипса, если коэффициент B =0, эксцентриситет e<1. Схематичное изображение эллипса имеет вид.

Построение эллипса в MS Excel аналогично построению окружности.

Пример 7.5. В качестве примера рассмотрим построение верхней половины эллипса

в диапазоне x Î[–3,5; 3,5] с шагом D=0,5.

Решение. Открываем чистый рабочий лист (команда ВставкаЛист).

Этап 1. Ввод данных. Составляем таблицу данных и у). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 — слово Эллипс. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (–3,5). В ячейку A3 вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (–3). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А16).

Далее вводим значения верхней полуокружности. В ячейку В2 необходимо ввести ее уравнение, разрешенное относительно

.

Для этого табличный курсор необходимо поставить в ячейку В2 и на панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка Функции … (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций — шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем Корень. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Корень. В рабочее поле вводим подкоренное выражение: 4*(1 — А2*А2/9). Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется #ЧИСЛО! (при х< –3 у не существует). Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В16.

В результате должна быть получена таблица данных для построения верхней полуокружности эллипса.

Этап 2. Выбор типа диаграммы. На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы выберем тип — График, вид — График с маркерами (левую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

Этап 3. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающийкурсор, следует навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (В1), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на диаграмму данные (В16), затем отпустить левую кнопку мыши.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах.

Этап 4. Ввод подписей по оси X (горизонтальной). В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем мыши) и в поле Подписи оси X указать диапазон подписей (в примере — Аргумент). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и, наведя указатель мыши на левую верхнюю ячейку подписей (А2), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось X подписи (А16), затем отпустить левую кнопку мыши.

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку Далее.

Этап 5. Введение заголовков. В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название: График эллипса. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 6. Завершение. Необходимо нажать кнопку Готово.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма верхнего полуэллипса:

ЗАДАНИЯ 7.2.

7.2.1. Построить верхнюю часть параболы у2 в диапазоне xÎ[0; 4] с шагом D=0,25.

7.2.2. Построить гиперболу y =1/2х в диапазоне х Î[0,1; 5,1] с шагом D=0,25

7.2.3. Построить верхнюю полуокружность эллипса x4/4+у2=1 в диапазоне х Î[–2,25; 2,25] с шагом D=0,25.

7.2.4. Постройте параболу: у2= 6 х в диапазоне х Î[0; 4] с шагом D=0,25. Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы.

7.2.5 Постройте параболу: х2 =8 у в диапазоне x Î[–2,25; 2,25] с шагом D=0,25. Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы.

7.2.6. Постройте параболу (диапазон и шаг выберите самостоятельно): проходящую через точки (0; 0) и (1; –3) и симметричную относительно оси Ох.

7.2.7. Постройте параболу (диапазон и шаг выберите самостоятельно): проходящую через точки (0; 0) и (2; –4) и симметричную относительно оси Оу.

7.2.8. Постройте окружность, имеющую центр в фокусе параболы у2 = 2рх и касающуюся ее директрисы, если р= 2,5. Диапазон и шаг выберите самостоятельно.

7.2.9. Постройте множество точек, одинаково удаленных от F (0; 2) и от прямой у= 4. Найдите точки пересечения этой кривой с осями координат и постройте ее. Диапазон и шаг выберите самостоятельно.

7.2.10. Постройте множество точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой х=– 4. Найдите точки пересечения этой кривой с осями и постройте ее. Диапазон и шаг выберите самостоятельно.

7.2.11. Постройте гиперболу (диапазон и шаг выберите самостоятельно): x2/9–у2/16=1.

7.2.12. Постройте гиперболу (диапазон и шаг выберите самостоятельно): 9x2/25–у2=1

7.2.13. Постройте гиперболу (диапазон и шаг выберите самостоятельно): 16x2–9у2=144

7.2.14. Постройте гиперболу (диапазон и шаг выберите самостоятельно): y2/81 – x2/64 = 1

 

Предъявите работу преподавателю

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных