ЧАСТЬ II. Специальная теория относительности 2 страница

2.5. Элементы тензорной алгебры. Ковариантная запись дифференциального закона сохранения заряда. Законы преобразования плотностей заряда и тока.

Специальная теория относительности установила инвариантность интервала при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, т.е. инвариантность интервала при преобразованиях Лоренца. Впервые Пуанкаре, а затем Минковский показали, что обычное трехмерное пространство и время представляют собой единое четырехмерное пространство – время. О точках такого пространства говорят как о физических событиях. Радиус – вектор любой точки (события) пространства- времени имеет четыре компоненты и его можно записать в виде

, (5.1)

где - трехмерный радиус – вектор. Таким образом, в четырехмерном пространстве введем четыре взаимно ортогональные координатные оси .

Рассмотрим закон преобразования координат при переходе из одной системы отсчета в другую. При этом не ограничиваемся только инерциальными системами отсчета. Закон преобразования координат запишем в виде:

. (5.2)

Это преобразование должно быть не вырожденным, чтобы имело место обратное преобразование

. (5.3)

Следовательно, якобиан преобразования

.

Рассмотрим малое перемещение в четырехмерном пространстве:

. (5.4)

Здесь применено известное правило суммирования Эйнштейна, согласно которому по повторяющимся (немым) индексам производится суммирование. Малое перемещение в четырехмерном пространстве обобщает перемещение в трехмерном пространстве, - контрвариантный вектор в четырехмерном пространстве.

Обобщая правило преобразования четырехмерного вектора перемещения (5.4), введем произвольный четырехмерный контрвариантный вектор , который преобразуется при заданном законе преобразования координат (5.2) по следующему правилу

, (5.5)

где .

Пусть - произвольная скалярная функция. Тогда

.

Введем - ковариантный вектор. Получим правило преобразования ковариантных векторов при переходе из одной системы координат в другую:

. (5.6)

Можно обобщить понятие скаляра на четырехмерное пространство:

.

В частности, четырехмерный интервал

, (5.7)

есть пример четырехмерной скалярной функции. Здесь - ковариантный метрический тензор в произвольных координатах. Такая запись интервала обобщает вид интервала в декартовых координатах инерциальной системы отсчета

, (5.8)

для которых метрический тензор

имеет диагональный вид. Согласно (5.7) в произвольных координатах имеем .

Найдем закон преобразования метрического тензора при переходе из одной системы координат в другую:

.

Следовательно, получим

. (5.9)

Рассматриваемый метрический тензор – ковариантный тензор второго ранга.

Для матрицы построим обратную матрицу , которая удовлетворяет условию . Матрица определяет контрвариантный метрический тензор второго ранга. Найдем закон преобразования для этого тензора:

,

где

.

Тогда

. (5.10)

Можно ввести контрвариантный тензор произвольного ранга , который удовлетворяет следующему закону преобразования при переходе из одной системы координат в другую:

. (5.11)

Аналогично введем ковариантный тензор ранга

. (5.12)

С помощью метрического тензора можно опускать и поднимать индексы у тензоров. Например:

.

В инерциальной системе отсчета метрический тензор

.

Действительно, так как

и ,

то при , при и .

Введем ковариантный вектор перемещения . Если определить скалярное произведение векторов следующим образом: , то

.

Запись физических выражений в четырехмерном тензорном виде называют ковариантной записью физических уравнений. При такой форме записи вид выражений не меняется при преобразованиях Лоренца. Следовательно, законы физики должны быть записаны в ковариантном виде.

Вначале рассмотрим закон сохранения заряда

и перепишем его в ковариантной форме. Введем . Тогда

, .

Введем . Если ввести четырехмерный вектор тока , то закон сохранения заряда может быть записан в ковариантной форме

. (5.13)

Найдем закон преобразования четырехмерного вектора тока

. (5.14)

Воспользуемся преобразованиями Лоренца

или

где , . Отсюда следует, что

. (5.15)

Положив в (5.14) , получим

или

. (5.16)

Взяв , получим:

. (5.17)

При : .

Таким образом, преобразования четырехвектора тока :

(5.18)

Обратное преобразование

(5.19)

Пусть заряды покоятся в инерциальной системе отсчета К', т.е. , , . Тогда

.

Воспользуемся законом преобразования объема и найдем, как преобразуется заряд в объеме . Получим

= = .

Это означает, что заряд любого элемента объема есть инвариант при преобразованиях Лоренца, т.е. при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.

2.6. Ковариантная запись условия Лоренца и уравнений для потенциала. Закон преобразования потенциалов.

Перепишем условие Лоренца

в виде

.

Введем четырехмерный контравариантный вектор потенциала , где , , , . Ковариантный вектор потенциала . При этом условие Лоренца в ковариантном виде

. (6.1)

Закон преобразования потенциалов

(6.2)

запишем в виде

(6.3)

Уравнение для потенциалов

, , (6.4)

где оператор Даламбера

или

= = . (6.5)

Тогда уравнения для потенциалов (6.4) перепишем в виде

(6.6)

или

. (6.7)

2.7. Тензор электромагнитного поля. Ковариантная запись уравнений Максвелла для полей в вакууме.

Уравнения Максвелла также могут быть записаны в ковариантном виде. Для этого введем тензор электромагнитного поля. Напряженности электромагнитного поля

(7.1)

перепишем в координатном виде

(7.2)

Введем координаты четырехмерного пространства и четырехмерный ковариантный вектор потенциала . Тогда соотношения (7.2) примут вид

(7.3)

Рассмотрим тензор

, (7.4)

который называют тензором электромагнитного поля. Он является ковариантным, антисимметричным тензором второго ранга, т.е. для него выполняются следующие соотношения:

.

Запишем тензор (7.4) в виде:

. (7.5)

Контрвариантный тензор электромагнитного поля

. (7.6)

Запишем уравнения Максвелла в ковариантном виде, воспользовавшись введенным тензором электромагнитного поля. Рассмотрим уравнения Максвелла

(7.7)

Уравнение перепишем в виде:

, (7.8)

где , . Уравнение преобразуем к виду:

, (7.9)

где , . Например, положив в (7.9) , получим

,

или

.

Следовательно,

.

Таким образом, уравнения (7.8) и (7.9) можно записать в виде

. (7.10)

Преобразуем оставшуюся пару уравнений (7.7). Вначале рассмотрим

.

Получим

или

. (7.11)

Аналогичным образом преобразуем уравнение . В проекции на ось имеем

или

.

Окончательно получим

. (7.12)

Таким образом, оставшуюся пару уравнений можно записать в виде

, (7.13)

где . Введем полностью антисимметричный тензор четвертого ранга . Определим этот тензор следующим образом. Положим , . Тензор называют абсолютно антисимметричным тензором Леви – Чевиты. Четное число перестановок индексов дает

элементы этого тензора равные +1, а нечетное число перестановок индексов дает элементы тензора равные -1. Всего ненулевых компонент тензора будет 4!=4·3·2·1=24.

Тогда уравнение (7.13) может быть переписано в виде

. (7.14)

Тензор - тензор третьего ранга, антисимметричный по всем трем индексам , при условии .

Таким образом, в ковариантной форме уравнения Максвелла:

(7.15)

2.8. Законы преобразования напряженностей поля. Инварианты электромагнитного поля.

Запишем закон преобразования тензора электромагнитного поля:

. (8.1)

Здесь

, .

Положим в (8.1) и получим

= = = .

Аналогично можно получить законы преобразования других компонент напряженностей электромагнитного поля. Окончательно имеем

(8.2)

Законы преобразования напряженностей электромагнитного поля можно записать в векторном виде. Рассмотрим параллельные и перпендикулярные к скорости компоненты векторов напряженностей электромагнитного поля, т.е. , и , . Тогда законы преобразования напряженностей (8.2) можно переписать в виде

(8.3)

В нерелятивистском случае эти формулы значительно упрощаются. С точностью до членов порядка получим

(8.4)

Из компонент тензора электромагнитного поля можно образовать следующие инварианты:

a) .

b)

Выражая компоненты тензора электромагнитного поля через компоненты и , можно показать, что эти инварианты имеют вид:

(8.5)

Можно было бы образовать еще один инвариант . Но он тождественно обращается в нуль, т.е. .

Отметим, что первый инвариант истинный скаляр, т.е. он не изменяется как для поворотов в четырехмерном пространстве (преобразования Лоренца), так и относительно пространственных и временных отражений (преобразование инверсии). Второй инвариант псевдоскаляр. Он инвариант только для поворотов (преобразования Лоренца), но не инвариант для отражений.

Из (8.5) следует:

1) Если в какой–нибудь инерциальной системе отсчета , т.е. , то и в другой инерциальной системе отсчета и значит . Можно найти такую инерциальную систему отсчета, в которой либо , если , либо , если .

2) Если в какой – нибудь инерциальной системе отсчета, то они будут нулевыми во всех системах отсчета. Действительно, и во всех инерциальных системах отсчета. Решение системы этих уравнений будет тривиальным: .

3) Если в какой–нибудь инерциальной системе отсчета, то во всех системах отсчета.

4) Если не перпендикулярно в какой – нибудь инерциальной системе отсчета, то можно найти такую систему отсчета, в которой .

2.9. Инвариантность фазы. Законы преобразования частоты и волнового вектора электромагнитной волны. Астрономическая аберрация и эффект Доплера.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну в инерциальной системе отсчета К: