ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
ЧАСТЬ II. Специальная теория относительности 3 страница, (9.8) или . (9.9) Выражение (9.9) описывает эффект Доплера. Если - частота движущегося вдоль источника света, то - частота света, воспринимаемого покоящимся наблюдателем. Если взять (источник света удаляется) или (источник света приближается), то из (9.9) получим . (9.10) Эта формула описывает продольный эффект Доплера. В нерелятивистском случае получим известную формулу эффекта Доплера: . (9.11) Если взять , то получим формулу для поперечного эффект Доплера . (9.12) В нерелятивистском приближении поперечный эффект Доплера отсутствует (). В 1938 году Айвс обнаружил релятивистский эффект Доплера, т.е. эффект второго порядка по . Из второго уравнения (9.7) получим . Отсюда и из выражения (9.9) получим . (9.13) Согласно третьему уравнению (9.7) имеем . (9.14) С учетом (9.9) получим . (9.15) Из (9.13) и (9.15) следует известная формула , (9.16) объясняющая эффект астрономической аберрации. 2.10. Релятивистское обобщение уравнений механики Ньютона. Уравнение движения заряженной релятивистской частицы во внешнем электромагнитном поле. Рассмотрим движение частицы в пространстве Минковского (четырехмерное псевдоевклидово пространство – время). Частица описывает в четырехмерном пространстве кривую, которая называется мировой линией. При плоском движении частицы в коор-динатной плоскости () с постоянной скоростью мировая линия частицы –прямая линия 1 (см. рисунок). Очевидно, что , где - скорость движения частицы. Мировая линия частицы, движущейся с ускорением – кривая 2. Траектории частиц всегда расположены внутри конуса, называемого световым конусом. Образующие этого конуса отвечают движению фотона, скорость которого равна . Рассмотрим элемент мировой линии частицы = , . (10.1) Введем собственное время частицы . Очевидно, оно является инвариантом. Тогда . (10.2) Обобщим понятие скорости в трехмерном пространстве на четырехмерный случай , . (10.3) Ковариантный вектор скорости . (10.4) Следует отметить, что нельзя ввести понятие четырехмерной скорости для фотона. Для четырехмерной скорости выполняется выражение . (10.5) В нерелятивистском случае получим: , () и . Аналогично введем четырехмерный вектор ускорения , . (10.6) Выражение (10.6) обобщает определение ускорения в классической механике . Проведем расчеты и получим . (10.7) В нерелятивистском случае получим: . Из условия (10.5) получим или . (10.8) Таким образом, вектора скорости и ускорения ортогональны в четырехмерном пространстве. Введем четырехмерный импульс , = , (10.9) где - масса покоя частица (собственная масса), являющаяся скаляром (инвариантом). В нерелятивистском случае получим: = . (10.10) Здесь или - обычный нерелятивистский импульс. Если ввести так называемую релятивистскую массу , (10.11) которую иногда называют инертной или динамической массой, то (10.9) можно переписать в виде: = . (10.12) Тогда пространственную часть четырехмерного импульса можно переписать в виде или . (10.13) Эту часть четырехмерного импульса называют релятивистским импульсом. В классической ньютоновой механике уравнение движения имеет вид . (10.14) Минковский обобщил это уравнение на четырехмерный случай . (10.15) В уравнении Минковского (10.15) четырехмерный вектор называют силой Минковского. Подставим в (10.15) значение , получим , (10.16) где релятивистский импульс . Тогда из выражения (10.16) получим уравнение: . (10.17) Введя релятивистскую силу , перепишем уравнение (10.17) в виде: . (10.18) оно обобщает нерелятивистское уравнение движения (10.14). Релятивистское уравнение движения (10.18) было предложено Пуанкаре. При условии, что , получим и . Уравнение (10.18) при этом совпадет с уравнением движения классической механики (10.14). Рассмотрим заряженную частицу с зарядом , движущуюся в электромагнитном поле. На нее со стороны поля действует сила Лоренца . (10.19) Запишем силу Лоренца в ковариантном виде, воспользовавшись определением четырехмерной скорости и тензора электромагнитного поля: , . Тогда из (10.19) получим для компоненты силы Лоренца: = = = . Аналогично можно получить другие компоненты силы Лоренца. Их запишем в виде: , . (10.20) Обобщим формулу (10.20), введя четырехмерный вектор силы Лоренца . (10.21) Отсюда сила Минковского, действующая на заряженную частицу, будет . (10.22) Уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле (10.15) примет вид (10.23) или . (10.24) 2.11. Законы преобразования энергии и импульса. Связь энергии, импульса и скорости релятивистской частицы. Рассмотрим уравнение Минковского при : . (11.1) Воспользуемся условием , из которого следует или (). Тогда и . Подставим значение в (11.1) и получим или . (11.2) Добавим к нему полученное ранее уравнение (10.18) . (11.3) Уравнения(11.2) и (11.3) впервые были записаны Пуанкаре. В нерелятивистском случае () в правой части (11.2) выражение представляет мощность внешней силы. Следовательно, уравнение (11.2) примет вид: , где - энергия частицы. В релятивистском случае (11.4) следует считать полной энергией частицы. Полагаем и получим из (11.4) . (11.5) Здесь величина - кинетическая энергия нерелятивистской частицы, - энергия покоя частицы. В релятивистском случае кинетическую энергию частицы определим аналогично, т.е. . (11.6) Четырехмерный импульс частицы = . (11.7) Тогда , , (11.8) где - трехмерный релятивистский импульс. Можно записать его в виде . (11.9) Учтем, что . С другой стороны . Следовательно, получим выражение , или , (11.10) которое определяет связь между энергией и импульсом частицы. Скорость частицы . (11.11) Найдем законы преобразования энергии и импульса при переходе из одной инерциальной системы в другую (11.12) или (11.13) Здесь Скорость || 0x, где - относительная скорость системы отсчета К'; - скорости частиц в инерциальных системах отсчета К и К'. 2.12. Принцип стационарного действия в электродинамике. Вывод уравнения релятивистской механики из принципа стационарного действия. Рассмотрим движущийся в электромагнитном поле заряд . В нерелятивистском случае функция Лагранжа этого заряда . (12.1) Введем функционал действия , (12.2) где интегрирование в выражении (12.2) проводится по некоторой кривой, соединяющей две точки (события) в четырехмерном пространстве Минковского. Согласно принципу стационарного действия, вариация действия . Отсюда следуют уравнения движения - уравнения Лагранжа: , (12.3) где , . Найдем обобщенный импульс системы , (12.4) и обобщенную силу . (12.5) Из (12.3) с учетом (12.4) и (12.5) следует = . Отсюда получим известное уравнение движения для нерелятивистской заряженной частицы в электромагнитном поле: . (12.6) Получим функцию Лагранжа для релятивистской частицы с зарядом , движущейся в электромагнитном поле. При этом будем руководствоваться следующими вполне очевидными положениями: · - должен быть скаляром относительно преобразований Лоренца. · - должен зависеть только от времени, координат и скорости заряженной частицы. · - должен иметь по возможности более простой вид и в предельном случае малых скоростей сводиться к нерелятивистской функции Лагранжа (12.1). Для свободной частицы (в отсутствие поля) релятивистский функционал действия можно записать в виде , (12.7) где - четырехмерный интервал, - некоторая постоянная. В нерелятивистском приближении функция Лагранжа . (12.8) Если положить , то функция сводится к нерелятивистской функции Лагранжа . Постоянная () не влияет на уравнения движения частицы. Таким образом, для свободной частицы получим действие . (12.9) Действие для частицы, движущейся в электромагнитном поле, представим в виде , (12.10) где - действие, описывающее взаимодействие частицы с полем. Наиболее простой вид действия . (12.11) Функция Лагранжа . (12.12) В нерелятивистском случае функция Лагранжа примет вид , (12.13) который совпадает с (12.1). Постоянным слагаемым () можно пренебречь, т.к. оно не сказывается на уравнениях движения. Для вывода уравнений релятивистской механики воспользуемся принципом стационарного действия, из которого следуют уравнения Лагранжа в виде (12.3). Функцию Лагранжа (12.12) можно записать в виде: . (12.14) Проведем вычисления. Обобщенный импульс: , = , где - релятивистский импульс частицы. Обобщенная сила = =. . Тогда или . (12.15) Это известное уравнение движения Пуанкаре для релятивистской заряженной частицы в электромагнитном поле. Легко получить второе уравнение Пуанкаре для энергии, если ввести полную энергию частицы . Можно показать, что выполняются следующие выражения для энергии и импульса: , . Найдем = = = . Окончательно получим . (12.16) Уравнения движения в гамильтоновой форме имеют вид: (12.17) Функция Гамильтона (энергия, выраженная через канонические координаты и импульсы) , (12.18) где функция Лагранжа , (12.19) . (12.20) После подстановки значений (12.19) и (12.20) в выражение (12.18) получим . (12.21) Функция Гамильтона как функция энергии, выраженная через координаты и импульсы, имеет следующий вид: . (12.22) Вместо релятивистского импульса частицы в выражение для функции Гамильтона должен входить обобщенный импульс. Так как , то окончательный вид функции Гамильтона . (12.23) Воспользовавшись каноническими уравнениями Гамильтона (12.17) с функцией Гамильтона (12.23), можно получить уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле (12.15) и (12.16). 2.13. Функция Лагранжа при заданных зарядах и токах. Получение уравнений Максвелла из принципа стационарного действия. Запишем действие, описывающее электромагнитное поле, частицы и взаимодействие электромагнитного поля с частицами . (13.1) Первые два слагаемых мы уже рассматривали для случая одной частицы. Для системы невзаимодействующих частиц . (13.2) Действие, отвечающее за взаимодействие частиц с полем: . (13.3) Перейдем к сплошной среде , (13.4) где - плотность массы. Выражение (13.4) перепишем в виде . (13.5) Здесь - лагранжиан свободных частиц, являющейся объемной плотностью функции Лагранжа . Функция Лагранжа определяется выражением , (13.6) и, следовательно, . (13.7) Таким образом, лагранжиан: . (13.8) Функционал действия = = = = . Лагранжиан, описывающий взаимодействие частиц с полем . (13.9) Действие для электромагнитного поля . (13.10) Лагранжиан электромагнитного поля должен быть скаляром, т.е. комбинацией тензоров . Так как уравнения электромагнитного поля не могут быть выше второго порядка, то тензоры не должны входить в эту комбинацию. Единственный скаляр, отвечающий этим требованиям . (13.11) Действие выберем в виде . (13.12) Лагранжиан электромагнитного поля можно записать в виде . (13.13) Для того чтобы получаемые из (13.12) и (13.13) уравнения для электромагнитного поля совпадали с уравнениями Максвелла в гауссовой системе единиц, необходимо положить . Следовательно, можно записать лагранжиан электромагнитного поля в виде Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|