ЧАСТЬ II. Специальная теория относительности 3 страница

, (9.8)

или

. (9.9)

Выражение (9.9) описывает эффект Доплера. Если - частота движущегося вдоль источника света, то - частота света, воспринимаемого покоящимся наблюдателем.

Если взять (источник света удаляется) или (источник света приближается), то из (9.9) получим

. (9.10)

Эта формула описывает продольный эффект Доплера. В нерелятивистском случае получим известную формулу эффекта Доплера:

. (9.11)

Если взять , то получим формулу для поперечного эффект Доплера

. (9.12)

В нерелятивистском приближении поперечный эффект Доплера отсутствует (). В 1938 году Айвс обнаружил релятивистский эффект Доплера, т.е. эффект второго порядка по .

Из второго уравнения (9.7) получим

.

Отсюда и из выражения (9.9) получим

. (9.13)

Согласно третьему уравнению (9.7) имеем

. (9.14)

С учетом (9.9) получим

. (9.15)

Из (9.13) и (9.15) следует известная формула

, (9.16)

объясняющая эффект астрономической аберрации.

2.10. Релятивистское обобщение уравнений механики Ньютона. Уравнение движения заряженной релятивистской частицы во внешнем электромагнитном поле.

Рассмотрим движение частицы в пространстве Минковского (четырехмерное псевдоевклидово пространство – время). Частица описывает в четырехмерном пространстве кривую, которая называется мировой линией.

При плоском движении частицы в коор-динатной плоскости () с постоянной скоростью мировая линия частицы –прямая линия 1 (см. рисунок). Очевидно, что , где - скорость движения частицы. Мировая линия частицы, движущейся с ускорением – кривая 2.

Траектории частиц всегда расположены внутри конуса, называемого световым конусом. Образующие этого конуса отвечают движению фотона, скорость которого равна .

Рассмотрим элемент мировой линии частицы

= , . (10.1)

Введем собственное время частицы . Очевидно, оно является инвариантом. Тогда

. (10.2)

Обобщим понятие скорости в трехмерном пространстве на четырехмерный случай

, . (10.3)

Ковариантный вектор скорости

. (10.4)

Следует отметить, что нельзя ввести понятие четырехмерной скорости для фотона. Для четырехмерной скорости выполняется выражение

. (10.5)

В нерелятивистском случае получим: , () и .

Аналогично введем четырехмерный вектор ускорения

, . (10.6)

Выражение (10.6) обобщает определение ускорения в классической механике

. Проведем расчеты и получим

. (10.7)

В нерелятивистском случае получим:

.

Из условия (10.5) получим или

. (10.8)

Таким образом, вектора скорости и ускорения ортогональны в четырехмерном пространстве.

Введем четырехмерный импульс

, = , (10.9)

где - масса покоя частица (собственная масса), являющаяся скаляром (инвариантом). В нерелятивистском случае получим:

= . (10.10)

Здесь или - обычный нерелятивистский импульс.

Если ввести так называемую релятивистскую массу

, (10.11)

которую иногда называют инертной или динамической массой, то (10.9) можно переписать в виде:

= . (10.12)

Тогда пространственную часть четырехмерного импульса можно переписать в виде

или . (10.13)

Эту часть четырехмерного импульса называют релятивистским импульсом.

В классической ньютоновой механике уравнение движения имеет вид

. (10.14)

Минковский обобщил это уравнение на четырехмерный случай

. (10.15)

В уравнении Минковского (10.15) четырехмерный вектор называют силой Минковского.

Подставим в (10.15) значение , получим

, (10.16)

где релятивистский импульс . Тогда из выражения (10.16) получим уравнение:

. (10.17)

Введя релятивистскую силу , перепишем уравнение (10.17) в виде:

. (10.18)

оно обобщает нерелятивистское уравнение движения (10.14). Релятивистское уравнение движения (10.18) было предложено Пуанкаре. При условии, что , получим и . Уравнение (10.18) при этом совпадет с уравнением движения классической механики (10.14).

Рассмотрим заряженную частицу с зарядом , движущуюся в электромагнитном поле. На нее со стороны поля действует сила Лоренца

. (10.19)

Запишем силу Лоренца в ковариантном виде, воспользовавшись определением четырехмерной скорости и тензора электромагнитного поля:

,

.

Тогда из (10.19) получим для компоненты силы Лоренца:

= = = .

Аналогично можно получить другие компоненты силы Лоренца. Их запишем в виде:

, . (10.20)

Обобщим формулу (10.20), введя четырехмерный вектор силы Лоренца

. (10.21)

Отсюда сила Минковского, действующая на заряженную частицу, будет

. (10.22)

Уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле (10.15) примет вид

(10.23)

или

. (10.24)

2.11. Законы преобразования энергии и импульса. Связь энергии, импульса и скорости релятивистской частицы.

Рассмотрим уравнение Минковского при :

. (11.1)

Воспользуемся условием , из которого следует или (). Тогда и . Подставим значение в (11.1) и получим

или

. (11.2)

Добавим к нему полученное ранее уравнение (10.18)

. (11.3)

Уравнения(11.2) и (11.3) впервые были записаны Пуанкаре.

В нерелятивистском случае () в правой части (11.2) выражение представляет мощность внешней силы. Следовательно, уравнение (11.2) примет вид:

,

где - энергия частицы. В релятивистском случае

(11.4)

следует считать полной энергией частицы.

Полагаем и получим из (11.4)

. (11.5)

Здесь величина - кинетическая энергия нерелятивистской частицы, - энергия покоя частицы. В релятивистском случае кинетическую энергию частицы определим аналогично, т.е.

. (11.6)

Четырехмерный импульс частицы

= . (11.7)

Тогда

, , (11.8)

где - трехмерный релятивистский импульс. Можно записать его в виде

. (11.9)

Учтем, что

.

С другой стороны

.

Следовательно, получим выражение

,

или

, (11.10)

которое определяет связь между энергией и импульсом частицы. Скорость частицы

. (11.11)

Найдем законы преобразования энергии и импульса при переходе из одной инерциальной системы в другую

(11.12)

или

(11.13)

Здесь

Скорость || 0x, где - относительная скорость системы отсчета К^'; - скорости частиц в инерциальных системах отсчета К и К^'.

2.12. Принцип стационарного действия в электродинамике. Вывод уравнения релятивистской механики из принципа стационарного действия.

Рассмотрим движущийся в электромагнитном поле заряд . В нерелятивистском случае функция Лагранжа этого заряда

. (12.1)

Введем функционал действия

, (12.2)

где интегрирование в выражении (12.2) проводится по некоторой кривой, соединяющей две точки (события) в четырехмерном пространстве Минковского.

Согласно принципу стационарного действия, вариация действия

.

Отсюда следуют уравнения движения - уравнения Лагранжа:

, (12.3)

где , .

Найдем обобщенный импульс системы

, (12.4)

и обобщенную силу

. (12.5)

Из (12.3) с учетом (12.4) и (12.5) следует

=

.

Отсюда получим известное уравнение движения для нерелятивистской заряженной частицы в электромагнитном поле:

. (12.6)

Получим функцию Лагранжа для релятивистской частицы с зарядом , движущейся в электромагнитном поле. При этом будем руководствоваться следующими вполне очевидными положениями:

· - должен быть скаляром относительно преобразований Лоренца.

· - должен зависеть только от времени, координат и скорости заряженной частицы.

· - должен иметь по возможности более простой вид и в предельном случае малых скоростей сводиться к нерелятивистской функции Лагранжа (12.1).

Для свободной частицы (в отсутствие поля) релятивистский функционал действия можно записать в виде

, (12.7)

где - четырехмерный интервал, - некоторая постоянная. В нерелятивистском приближении функция Лагранжа

. (12.8)

Если положить , то функция сводится к нерелятивистской функции Лагранжа . Постоянная () не влияет на уравнения движения частицы. Таким образом, для свободной частицы получим действие

. (12.9)

Действие для частицы, движущейся в электромагнитном поле, представим в виде

, (12.10)

где - действие, описывающее взаимодействие частицы с полем. Наиболее простой вид действия

. (12.11)

Функция Лагранжа

. (12.12)

В нерелятивистском случае функция Лагранжа примет вид

, (12.13)

который совпадает с (12.1). Постоянным слагаемым () можно пренебречь, т.к. оно не сказывается на уравнениях движения.

Для вывода уравнений релятивистской механики воспользуемся принципом стационарного действия, из которого следуют уравнения Лагранжа в виде (12.3). Функцию Лагранжа (12.12) можно записать в виде:

. (12.14)

Проведем вычисления.

Обобщенный импульс:

,

= ,

где - релятивистский импульс частицы. Обобщенная сила

=

=. .

Тогда

или

. (12.15)

Это известное уравнение движения Пуанкаре для релятивистской заряженной частицы в электромагнитном поле.

Легко получить второе уравнение Пуанкаре для энергии, если ввести полную энергию частицы

.

Можно показать, что выполняются следующие выражения для энергии и импульса:

, .

Найдем

= =

= .

Окончательно получим

. (12.16)

Уравнения движения в гамильтоновой форме имеют вид:

(12.17)

Функция Гамильтона (энергия, выраженная через канонические координаты и импульсы)

, (12.18)

где функция Лагранжа

, (12.19)

. (12.20)

После подстановки значений (12.19) и (12.20) в выражение (12.18) получим

. (12.21)

Функция Гамильтона как функция энергии, выраженная через координаты и импульсы, имеет следующий вид:

. (12.22)

Вместо релятивистского импульса частицы в выражение для функции Гамильтона должен входить обобщенный импульс. Так как

,

то окончательный вид функции Гамильтона

. (12.23)

Воспользовавшись каноническими уравнениями Гамильтона (12.17) с функцией Гамильтона (12.23), можно получить уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле (12.15) и (12.16).

2.13. Функция Лагранжа при заданных зарядах и токах. Получение уравнений Максвелла из принципа стационарного действия.

Запишем действие, описывающее электромагнитное поле, частицы и взаимодействие электромагнитного поля с частицами

. (13.1)

Первые два слагаемых мы уже рассматривали для случая одной частицы. Для системы невзаимодействующих частиц

. (13.2)

Действие, отвечающее за взаимодействие частиц с полем:

. (13.3)

Перейдем к сплошной среде

, (13.4)

где - плотность массы. Выражение (13.4) перепишем в виде

. (13.5)

Здесь - лагранжиан свободных частиц, являющейся объемной плотностью функции Лагранжа . Функция Лагранжа определяется выражением

, (13.6)

и, следовательно,

. (13.7)

Таким образом, лагранжиан:

. (13.8)

Функционал действия

= = =

= .

Лагранжиан, описывающий взаимодействие частиц с полем

. (13.9)

Действие для электромагнитного поля

. (13.10)

Лагранжиан электромагнитного поля должен быть скаляром, т.е. комбинацией тензоров . Так как уравнения электромагнитного поля не могут быть выше второго порядка, то тензоры не должны входить в эту комбинацию. Единственный скаляр, отвечающий этим требованиям

. (13.11)

Действие выберем в виде

. (13.12)

Лагранжиан электромагнитного поля можно записать в виде

. (13.13)

Для того чтобы получаемые из (13.12) и (13.13) уравнения для электромагнитного поля совпадали с уравнениями Максвелла в гауссовой системе единиц, необходимо положить . Следовательно, можно записать лагранжиан электромагнитного поля в виде

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: