Дифференциальные операции второго порядка

Операции - дифференциальные операции первого порядка.

Результат применения операции к скалярному полю есть векторное поле . Результат применения операции к векторному полю есть скалярное поле . Результат применения операции к векторному полю есть векторное поле . Если полученное новое поле дифференцируемо[1], то к нему можно снова применить одну и дифференциальных операций. Последовательное применение двух операций первого порядка называется дифференциальной операцией второго порядка.

Не возможные комбинации операций первого порядка допустимы. Имеют смысл следующие пять комбинаций из девяти:

Внешняя операция Внутренняя операция первого порядка

Скалярное поле Векторное поле

- -

- )

() - ()

Не имеют смысла выражения , , , , поскольку операцию можно применять лишь у скалярному полю, а операции и - только к векторному.

() , (1)

в чем нетрудно убедиться непосредственной проверкой, либо рассматривая эту операцию второго порядка с позиций векторного произведения параллельных векторов.

)= . (2)

Для доказательства достаточно последовательно проделать операции и , например, в декартовой системе координат, либо рассмотреть как скалярное произведение ортогональных векторов.

Следствие тождества (2). Вихревые линии любого поля (а это векторные линии поля ) не имеют источников или стоков. При этом если поле рассматривается во всем пространстве , то указанные линии замкнуты[2] (не исключается случай их замыкания на бесконечности). Если же поле рассматривается в области , его векторные линии могут оканчиваться на границе области .

Для характеристики любого поля наряду с векторными линиями используются вихревые.

Скалярный оператор Лапласа. Операция

(3)

образует скалярный дифференциальный оператор Лапласа (лапласиан). В декартовых координатах

(4)

Линейность оператора Лапласа:

. (5)

Утверждение. (6)

(докажите (6) самостоятельно).

Операции и . Лапласиан векторного аргумента. Нетрудно доказать:

. (7)

Следовательно,

. (8)

Лапласиан векторного аргумента вычисляется по формуле (8).

В ДПСК

. (9)

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>

ГАРАНТИИ ЗАКОННОСТИ |

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: