Основные законы алгебры логики

В алгебре логики выполняются основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений (табл.3):

Таблица 3. Основные законы алгебры логики

Закон	Для ИЛИ	Для И
Переместительный
Сочетательный
Распределительный
Правила де Моргана
Идемпотенции
Поглощения
Склеивания
Операция переменной с ее инверсией
Операция с константами
Двойного отрицания

Любая логическая формула может быть выражена через три базовые логические операции (ранее рассмотренные), однако на практике часто используют еще две логические связки. Первая из них называется импликацией (лат. implico – тесно связаны) и служит для задания так называемых условных высказываний. В русском языке этой логической операции соответствуют фразы если.., то.. или когда., тогда..

Импликация – двухместная операция: часть формулы до импликации называют основанием условного высказывания, а часть, расположенную за ней, – следствием. В логических формулах импликация обозначается знаком →.

Операция A→B определяет логическую функцию, тождественно совпадающую с функцией А ∨В.

Пример 1. Сложное высказывание: «Если на улице дождь, то на улице мокро». Обозначим через А простое высказывание «на улице дождь», а через В – «на улице мокро». Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A→B.

Пример 2. Если число Х делится на 4, то оно делится на 2. Это означает, что высказывание (Х делится на 4) → (Х делится на 2) истинно при всех Х.

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание) (табл. 4).

Таблица 4. Таблица истинности импликации

Однако операция логического следования несколько отличается от обычного слова «следует». Если первое высказывание (предпосылка) ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания (вывода) составное высказывание истинно. Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылки может следовать что угодно.

Другой распространенной операцией является эквивалентность (равнозначность, равносильность). Ее аналог в разговорной речи – фразы, подобные словосочетанию тогда и только тогда, когда... или если и только если... Для ее обозначения используется символ ↔ (или =, или ~).

Эквиваленцию A↔B можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию (А ∨В) & (A ∨B)

Пример 1. Сложное высказывание: «В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен тогда и только тогда, когда он сдан». Обозначим через А простое высказывание «В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен», а через В – «Экзамен сдан». Тогда логическая формула сложного высказывания запишется в виде: A↔B.

Пример 2. Многоугольник является вписанным в круг, если его вершины лежат на окружности.

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны (табл. 5).

Таблица 5. Таблица истинности эквивалентности

Вне зависимости от смысла равнозначными являются как истин-

ные, так и ложные высказывания, например,

А = (дважды два – пять);

B = (один плюс два – шесть);

А~В («А и В равнозначны»).

Рассмотренные логические операции в порядке убывания приоритетов располагаются так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: