Обчислення об’ємів тіл обертання

Нехай на відрізку задана неперервна знакопостійна функція y=f(x). Об’єм V_x тіла, отриманого внаслідок обертання навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженої лініями y=f(x), y =0; x=a; x=b (див мал. 2.8) обчислюється за формулою

V_x = . (2.4)

Якщо криволінійну трапецію обертати навколо осі Оy (мал. 2.9), то V_y= . (2.5)

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, що задані рівняннями:

а) у=х², у= 0, х= 3;

б) у=х²- 2 х, у= 0;

в) у=х²-х- 2, у=х+ 1;

г) у=х ²+2, у =-2 х +10, у =0, х =0.

Розв’язання. а)Площу зображеної на мал.2.10. фігури обчислимо, застосувавши формулу (2.1). (кв.од.).

б) Фігура, площу якої треба знайти, розташована під віссю Ох (див. мал. 2.11.), тому скористаємося формулою (2.2).

.

в) Площу зображеної на малюнку 2.12. фігури обчислюємо, використовуючи формулу (2.3). Знайдемо межі інтегрування, якими є абсциси точок перетину прямої у=х +1 та параболи у=х²-х -2. Розв’язавши систему рівнянь маємо х ₁=-1; х ₂=3. Отже,

(кв.од.).

г) Розіб’ємо шукану площу на частини (див. мал. 2.13). Тобто S_OABC=S_OABD+S_BCD. Абсциси точок А, В, С задають межі інтегрування. Зрозуміло, що абсциса точки А дорівнює нулю. Щоб знайти абсцису точки В, розв’яжемо систему рівнянь Маємо х ₁=-4; х ₂=2. Нас задовольняє х ₂=2. І, нарешті, знайдемо абсцису точки С. Покладемо у =0 в рівнянні прямої , маємо х =5. Отже, (кв.од.);

(кв.од.).

Кінцевий результат: (кв.од.).

Приклад 2. Обчислити об’єм тіла, отриманого обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями

а) y = x +3, y =0, x =0, x =5;

б) х=у ²-1, у=х -1.