Двоичная система счисления

Двоичная система счисления — способ записи чисел с помощью цифр 1 и 0, которые являются коэффициентами при степени два.

Рассмотрим арифметические действия в двоичной системе счисления. Сначала отметим, что 1₂ + 1₂ = 10₂

Почему? Во-первых, вспомним, как в привычной десятичной системе счисления появилась запись 10. К количеству, обозначенному старшей цифрой десятичного алфавита 9, прибавляем 1. Получается количество, для обозначения которого одной цифрой в алфавите цифр уже не осталось. Приходится для полученного количества использовать комбинацию двух цифр алфавита, то есть представлять данное количество наименьшим из двухразрядных чисел: 9₁₀ + 1₁₀ = 10₁₀. Аналогичная ситуация складывается в случае двоичной системы счисления. Здесь количество, обозначенное старшей цифрой 1 двоичного алфавита, увеличивается на единицу. Чтобы полученное количество представить в двоичной системе счисления, также приходится использовать два разряда. Для наименьшего из двухразрядных чисел здесь тот же единственный вариант: 10₂. Во-вторых, важно понять, что 10₂ 10₁₀. Строго говоря, в двоичной системе счисления это и читать надо не "десять", а "один ноль". Верным является соотношение 10₂ = 2₁₀. Здесь слева и справа от знака равенства написаны разные обозначения одного и того же количества. Это количество просто записано с использованием алфавитов разных систем счисления — двоичной и десятичной. Вроде, как мы на русском языке скажем "яблоко", а на английском про тот же предмет — "apple", и будем правы в обоих случаях.

Сложение в двоичной системе счисления. Запишем правило выполнения в двоичной системе счисления арифметического сложения одноразрядных чисел:

0 + 0 = 0

0+1 = 10

1 + 0 = 1

1+1=10

Следовательно, используя известное запоминание в уме при переносе переполнения в старший разряд, получаем:

1110101001,111

+

1111100101,011

101100111001,01

Вычитание в двоичной системе счисления. Исходя из того, что вычитание есть действие, обратное сложению, запишем правило арифметического вычитания одноразрядных чисел в двоичной системе счисления:

0-0=0

1-0=1

1-1=0

10-1=1

Используя это правило, можно проверить правильность произведенного выше сложения вычитанием из полученной суммы одного из слагаемых. При этом, чтобы вычесть в каком-либо разряде единицу из нуля, необходимо "занимать" недостающее количество в соседних старших разрядах (так же, как в десятичной системе счисления поступают при вычитании большего числа из меньшего).

Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичну. Известно, что в десятичной системе счисления 1 + 1 + 1 = 3, а 1 + 1 + 1 + 1=4, следовательно,

3₁₀=11₂; 4₁₀ =100₂.

Очевидно, что прибавлять по единице, чтобы найти представление любого десятичного числа в двоичной системе счисления, нерационально.

Перевод целых чисел. Пусть требуется найти представление числа 12₁₀ в двоичной системе счисления (задание может быть сформулировано и так: перевести число 12 из десятичной в двоичную систему счисления, или 12₁₀ —> Х₂, где X заменяет искомое представление).

Поступаем следующим образом: делим, начиная с 12, каждое получающееся частное на основание системы, в которую переводим число, то есть на 2.

Затем в направлении, указанном стрелкой (справа налево), начиная с последнего частного (в нашем случае оно всегда будет равно 1), записываемого в старший разряд формируемого двоичного представления, фиксируем все остатки. В итоге получаем ответ: 12₁₀ = 1100₂.

Перевод десятичных дробей, меньших единицы. Если указанный перевод необходимо осуществить для числа меньше единицы, допустим для 0,25, то схема наших действий изменится. Проведем вертикальную линию, отделяющую целую часть от дробной. Умножим оказавшуюся слева дробную часть на 2. Результат записываем на следующей строке, причем оставляем справа от вертикали столько разрядов, сколько было у исходной дробной части. Так как при этом произведение равно 50, то в разряд слева от вертикали записываем 0. Повторяем процесс умножения на 2 числа, стоящего справа от вертикали. Результат умножения 50 на 2 равен 100. Следовательно, при записи результата в следующую строку схемы справа от вертикали оказываются два нуля, а единица переносится в разряд слева от вертикали. На этом процесс умножения на 2 в данном примере заканчивается, так как мы уже получили точный ответ. Ответ образует число, прочитываемое слева от вертикали в направлении, указанном стрелкой (сверху вниз).

Очевидно, что, если продолжать умножение дальше, мы должны были бы умножать на 2 нули справа от вертикали и, следовательно, в каждой строке слева от вертикали записывать только нули. Это были бы незначащие нули в получаемой дроби. Поэтому, получив в результате серии умножений на 2 справа от вертикали одни нули, мы заканчиваем процесс перевода десятичного дробного числа меньше единицы в двоичную систему счисления и записываем ответ: 0,25₁₀ = 0,01₂.

Понятно, что гораздо чаще мы встретим такую исходную десятичную дробь, когда умножение на 2 чисел, стоящих справа от вертикали, не приведет к появлению там одних лишь нулей. Пусть, например, по условию задачи требуется перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0,3. Поступаем описанным выше образом:

06 12 04

В этом случае точный ответ не может быть получен, так как процесс перевода приходится оборвать и записать с некоторой заданной точностью приблизительный ответ (конкретно в этом примере — до трех знаков после запятой): 0,З₁₀ = 0,010₂.

Перевод десятичных дробей больше единицы. В этом случае необходимо, отделив в исходном десятичном числе целую и дробную части, провести для каждой из них независимый перевод в двоичную систему счисления указанным выше способом. Рассмотрим два примера, используя уже полученные результаты:

а) 12,25₁₀= 12₁₀ + 0,25₁₀= 1100₂ + 0,01₂= 1100,01₂;

б) 12,3 ₁₀= 12₁₀+0,3₁₀= 1100₂+0,010₂= 1100,010₂.

В примере а) ответ получен точным, тогда как в примере б) из-за приблизительности перевода дробной части окончательный ответ получается также приближенным.

Перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную. Это перевод— как бы обратный к изложенному выше. Его наиболее просто осуществить, основываясь на позиционности двоичной системы счисления. Уже отмечалась правомерность записи двоичного числа в виде суммы степеней основания системы счисления, то есть степеней двойки. Сделав такую запись, надо подсчитать десятичное значение полученной суммы:

1000001001,101₂ = (1 • 2⁹ + 0 • 2⁸ + 0 • 2⁷ + 0 • 2⁶+ 0 • 2⁵ + 0•2⁴+1•2³+0•2²+0•2¹+1•2⁰+1•2^-1+0•2^-2+1•2^-3)₁₀ = (512 + 8 + 1 + 1/2 + 1/8)₁₀= (521 + 5/8)₁₀= (521,625)₁₀.

Наконец, остановимся на преимуществах и недостатках использования двоичной системы счисления по сравнению с любой другой позиционной системой счисления. К недостаткам относится длина записи, представляющей двоичное число. Основные преимущества — простота совершаемых операций, а также возможность осуществлять автоматическую обработку информации, реализуя только два состояния элементов компьютера.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: