Методы обработки результатов наблюдений
Лекция4
Прямые измерения с многократными наблюдениями.
Методы обработки результатов наблюдений
Основной смысл усреднения многократных наблюдений одной и той же физической величины заключается в том, что найденная усредненная оценка координаты их центра имеет меньшую случайную погрешность, чем отдельные наблюдения, по которым она находится. Из сказанного следует, что усреднение не устраняет полностью случайный характер усредненного результата, а лишь уменьшает в какое-то число раз ширину полосы его неопределенности. Стремиться беспредельно уменьшать случайную погрешность результата измерения не имеет смысла, так как рано или поздно определяющим становится не рассеяние среднего арифметического, а недостоверность поправок на систематическую погрешность (неисключенная систематическая погрешность).
С целью приобретения практических навыков по методам обработки результатов прямых наблюдений предлагается использование задания в форме расчетно-графической работы или индивидуального задания на лабораторном практикуме.
Выбор задания осуществляется по 3-значному шифру. Первая цифра шифра – порядковый номер в списке потока или группы для данного студента, он же принимается за уровень напряжения, измеренного с помощью цифрового вольтметра.
С целью упрощения расчетов десятые и сотые доли результатов наблюдений для всех заданий взяты одинаковыми (табл. 2.4) при числе наблюдений
n = 20.
Пример. Результаты наблюдений, если студент в группе (потоке), числится под номером 12.
Таблица 2.4
| 12,42
|
| 12,43
|
| 12,42
|
| 12,39
|
| 12,43
|
| 12,39
|
| 12,41
|
| 12,41
|
| 12,40
|
| 12,45
|
| 12,39
|
| 12,43
|
| 12,43
|
| 12,40
|
| 12,39
|
| 12,42
|
| 12,42
|
| 12,43
|
| 12,40
|
| 12,48
|
Принимаем, что Dс в результатах наблюдений исключена за счет предварительного введения поправок, т.е. результаты
наблюдений – исправленные, однако, остается не исключенная составляющая q.
По второй цифре шифра из таблицы 2.5 выбирается класс точности (с/d) цифрового вольтметра (цв), с помощью которого измерялось напряжение.
Таблица 2.5
Класс точности цифровых вольтметров
№ варианта
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| с/d
| 0,05
-
0,03
| 0,04
-
0,02
| 0,02
-
0,01
| 0,03
-
0,01
| 0,04
-
0,025
| 0,05
-
0,035
| 0,045
-
0,025
| 0,03
-
0,045
| 0,02
-
0,01
| 0,03
-
0,015
|
По третьей цифре шифра из таблицы 2.6 выбирается значение доверительной вероятности Р.
Таблица 2.6
Значения доверительной вероятности
№
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р
| 0,2
| 0,4
| 0,6
| 0,8
| 0,9
| 0,95
| 0,98
| 0,99
| 0,995
| 0,999
|
Конечной целью выполнения задания является нахождение результата измерения и представление его в форме записи:
,
где U – результат измерения;
– средне арифметическое всех n наблюдений;
D U – погрешность измерения;
Р – доверительная вероятность.
В соответствии с правилами обработки результатов измерения с многократными наблюдениями алгоритм расчета будет следующим.
1. Вычисление среднего арифметического исправленных результатов измерений, принимаемое за результат измерений по формуле:
, (2.21)
где n – количество наблюдений;
Ui – отдельное наблюдение.
2. Вычисление оценки среднего квадратического отклонения (СКО) результатов наблюдения:

. (2.22)
3. Вычисление оценки среднего квадратичного отклонения результата измерения:

. (2.23)
4. Обозначим Vi = Ui - как случайное отклонение.
Должно соблюдаться равенство
.
Сведем результаты наблюдений и расчетов в таблицу 2.7
.
5. Исключение из группы наблюдений анормальных результатов, содержащих грубые погрешности. Для этого из ряда значений Vi находим наибольшее и определяем отношение
.
Таблица 2.7
Результаты расчётов
№ наблюдения
| Результаты наблюдений
| Случайное отклонение
Vi = Ui -
| Квадраты случайных отклонений
|
| 12,42
| 0,005
| 25
|
| 12,43
| 0,015
| 225
|
| 12,40
| -0,015
| 225
|
| 12,43
| 0,015
| 225
|
| 12,42
| 0,005
| 25
|
| 12,43
| 0,015
| 225
|
| 12,39
| -0,025
| 625
|
| 12,45
| 0,035
| 1225
|
| 12,40
| -0,015
| 225
|
| 12,43
| 0,015
| 225
|
| 12,42
| 0,005
| 25
|
| 12,41
| -0,005
| 25
|
| 12,39
| -0,025
| 625
|
| 12,3940
| -0,025
| 625
|
| 12,40
| -0,015
| 225
|
| 12,39
| -0,025
| 625
|
| 12,41
| -0,005
| 25
|
| 12,43
| 0,015
| 225
|
| 12,42
| 0,005
| 25
|
| 12,44
| 0,025
| 625
|
n = 20
| =12,415
|
|
| Полученное значение сравниваем со значением , взятым из таблицы 2.8. для данного объема выборки n = 20 и принятого уровня значимости q = 1– Р = 1– 0.95 = 0.05
Из таблицы 2.8 получаем значение = 2,623, что больше . Следовательно, подозреваемый результат наблюдений (N =8) c Vi = 0.035 нормальным и его не исключают из выборки.
В случае, если , результат наблюдения был бы анормальным и его нужно было бы исключить из выборки.
Таблица 2.8
Значения при различных числах наблюдений n
n
| q = 1 - P
| n
| q = 1 - P
| 0,10
| 0,05
| 0,025
| 0,01
| 0,1
| 0,05
| 0,025
| 0,01
|
| 1,406
| 1,412
| 1,414
| 1,414
|
| 2,297
| 2,461
| 2,602
| 2,759
|
| 1,645
| 1,689
| 1,710
| 1,723
|
| 2,326
| 2,493
| 2,638
| 2,808
|
| 1,731
| 1,869
| 1,917
| 1,955
|
| 2,354
| 2,523
| 2,670
| 2,837
|
| 1,894
| 1,996
| 2,067
| 2,130
|
| 2,380
| 2,551
| 2,701
| 2,871
|
| 1,974.
| 2,093
| 2,182
| 2,265
|
| 2,404
| 2,557
| 2,728
| 2,903
|
| 2,041
| 2,172
| 2,273
| 2,374
|
| 2,426
| 2,600
| 2,754
| 2,932
|
| 2,097
| 2,237
| 2,349
| 2,464
|
| 2,447
| 2,623
| 2,778
| 2,959
|
| 2,146
| 2,294
| 2,414
| 2,540
|
| 2,467
| 2,644
| 2,801
| 2,984
|
| 2,190
| 2,383
| 2,470
| 2,606
|
| 2,486
| 2,664
| 2,823
| 3,008
|
| 2,229
| 2,387
| 2,519
| 2,663
|
| 2,504
| 2,683
| 2,843
| 3,030
|
| 2,264
| 2,426
| 2,262
| 2,714
|
| 2,520
| 2,701
| 2,862
| 3,051
|
|
| 2,537
| 2,717
| 2,880
| 3,071
|
В таблице 2.8 q = 1 – P – уровень значимости (вероятность ошибки).
6. Проверка принадлежности результатов наблюдений нормальному закону распределения (НРЗ).
При числе наблюдений 50> n >15рекомендуется проверку на НЗР выполнять с помощью составного критерия, который фактически состоит из двух самостоятельных критериев.
Критерий 1
По данным случайных отклонений Ui находим отношение
,
где – оценка квантилей распределения,
S* – смещенная оценка результатов наблюдения, определяемая по формуле
.
Тогда значение будет равно
.
Затем выбираем уровень значимости в пределах q 1=(10-2) %. Берем q 1= 2 % и по таблице 2.9 находим значения квантилей и при n = 20,
Результаты группы наблюдений можно считать распределенными нормально, если
< .
Т.к. = 0,873, то 0,694 < < 0,9, т.е. наблюдения распределены по НРЗ.
Таблица 2.9
Статистика d
n
| q 1/2
| (1- q 1/2)100 %
| 1 %
| 5 %
| 95%
| 99 %
|
| 0,9137
0,9001
0,8901
0,8826
0,8769
0,8722
0,8682
0,8648
| 0,8884
0,8768
0,8686
0,8625
0,8578
0,8540
0,8508
0,7518
| 0,7236
0,7304
0,7360
0,7404
0,440
0,7470
0,7496
0,7518
| 0,6829
0,6950
0,7040
0,7110
0,7167
0,7216
0,7256
0,7291
|
Критерий 2
Считают, что результаты наблюдений принадлежат НРЗ, если не более m разностей | Ui-U | превзошли значение ZР /2* S,
где 
ZP /2 – верхняя квантель распределения нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятности Р /2.
Значения Р определяют из таблицы 2.10 по выбранному уровню значимости q 2 и числу результатов наблюдений n.
Таблица 2.10
Значения Р для вычисления ZР /2
n
| m
| q 2*100 %
| 1 %
| 2 %
| 5 %
|
11-14
15-20
21-22
24-27
28-32
33-35
36-49
|
| 0,98
0,99
0,99
0,98
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
| 0,98
0,98
0,99
0,97
0,98
0,98
0,98
0,98
0,99
| 0,96
0,97
0,98
0,96
0,96
0,97
0,97
0,98
0,98
|
Выбрав q 2=5 % по таблице 2.10 при n =20 имеем Р =0,98 и m =1.
При этом для значения P /2 = 0,98/2 = 0,49 их таблицы 2.2 имеем ZР /2* S =
= 2,36*18,209*10-3 = 43*10-3 В, т.е. ни одна разность | Ui - | не превзошла найденного значения 43*10-3 В (см. таблицу 2.7). Из этого следует, что оба критерия соблюдаются и, следовательно, распределение результатов наблюдений при n = 20 соответствует нормальному.
7. Определение случайной погрешности
Если имеем НЗР, то доверительные границы (без учета знака) случайной составляющей погрешности результата измерения находим по формуле
, (2.25)
где – Коэффициент Стьюдента, который в зависимости от доверительной вероятности Р и числа наблюдений n находим из табл. 2.3.
Примечание. С учебной целью, согласно шифру задания, значение Р берется из табл. 2.12
Таблица 2.12
№ вар.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р
| 0,2
| 0,4
| 0,6
| 0,8
| 0,9
| 0,95
| 0,98
| 0,99
| 0,995
| 0,999
|
Например, при Р = 0,9 и n – 1 = 19 из табл. 2.3 находим значение =1,729, тогда

8. Определение систематической погрешности
В начале задания было принято условие, что результаты наблюдений исправленные, однако остается неисключенная составляющая . С учебной целью в качестве берется погрешность цифрового вольтметра (ЦВ). Определим эту погрешность, учитывая, что класс точности ЦВ нормирован через относительную погрешность:

(2.26)
где С/d – обозначение класса точности ЦВ;
Х К – предел измерения для данного диапазона измерения ЦВ;
Х – измеренное значение.
Для всех вариантов задания принимаем значение Х К на 10 % больше,
чем Х.
В общем случае относительная погрешность есть отношение абсолютной погрешности к измеренному значению, т.е. %.
В нашем случае имеем %. Отсюда .
Например, если С/d = 0,02/0,01 и = 12,412 В,
то %,
тогда *10-3 В.
9. Условия определения границы погрешности результата измерения.
В случае, если , то неисключенной систематической составляющей погрешности по сравнению со случайной пренебрегаем и принимаем, что граница погрешности результата измерения равна
(см. пункт 7).
Убеждаемся в справедливости этого:
, то случайной погрешностью пренебрегаем по сравнению с и принимаем, что граница погрешности результата измерения равна .
В случае, если вышеприведенные неравенства не выполняются, границу погрешности результата измерения находим путем построения композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей.
Если доверительные границы случайной погрешности найдены по выражению
, то допускаются границы погрешности результата измерения (без учета знака) вычислять по формуле:
, (2.27)
где К – коэффициент, зависящий от отношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;
– оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.
; (2.28)

. (2.29)
При симметричной доверительной вероятности результат измерения представляют в виде
.
В нашем примере имеем
U = 12,415 0,00704, Р = 0,9.
С учетом требований стандарта запишем результат измерения таким образом, чтобы наименьшие разряды (не более двух значащих цифр) числового значения результата измерения и численного показателя точности были бы одинаковы, т.е. U = 12.42 0,01, Р = 0,9.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|