Элементы математической теории векторного поля

Говорят, что в некоторой области пространства задано векторное поле, если для любой точки этого пространства задан некоторый вектор, например, .

Пример. Если имеется поток текущей жидкости, то можно рассмотреть в любой точке этого потока вектор скорости частицы жидкости, находящейся в этой точке.

Пусть дана поверхность S. Рассмотрим малый элемент поверхности с площадью dS (рис. 43). Выберем одну из двух нормалей к элемен­ту в качестве положительной и введем единичный век­тор этой нормали ( =1). Образуем вектор , модуль которого равен площади элемента и который направлен вдоль положительной нормали к нему. Такой вектор называется вектором элемента площади.

2. Определим понятие «поток векторного поля». Здесь возможны 3 случая в зависимости от вида поверхности.

Величина показывает, в какой мере элемент поверхности dS пронизывается векторным полем и на­зывается потоком вектора через элемент dS.

Если просуммировать (проинтегрировать) такие величины по всей некоторой конечной поверх­ности S произвольной формы (предварительно разбив ее на малые элементы и проделав для них описанную выше процедуру), то получим величину

,

называемую потоком поля через задан­ную конечную поверх­ность.

Пример. В гидродинамике поток вектора скорости определяет объем жидкости, ежесекундно протекающей через поверхность.

Если рассматриваемая поверхность замкнута, то положительными считаются внешние нормали эле­ментов и потому для всех элементов векторы направ­лены наружу (рис. 45). Тогда потоки, выходящие из замкнутой поверхности, будут положительными, а вхо­дящие потоки – отрицательными.

3. Определим понятие «дивергенция векторного поля в точке».

.

Дивергенция в декартовой системе координат находится по формуле

.

Пример. В жидкости в местах, где div v ¹0,находятся или ее источ­ники с интенсивностью, равной div v, или стоки жидкости.

4. Определим понятие «вектор элемента длины».

5. Определим понятие «циркуляция векторного поля».

Рассмотрим в векторном поле кривую L и введем на ней поло­жительное направление. Разобьем кривую на малые век­торные элементы , составим для каждого элемента скалярное произведение и проинтегрируем по всей кривой L. Полученный интеграл

называется криволинейным интегралом век­тора вдоль кривой L или напряжением векторного поля вдоль кривой L.

Такой интеграл показывает, в какой мере вектор поля проецируется на элементы кривой L.

Пример. Если вектор есть сила, a – перемещение, то криволинейный интеграл выражает работу этой силы на участке траектории L.

Криволинейный интеграл по замкнутой кривой

Поля, для которых циркуляция вектора всюду равна нулю, называются безвих­ревыми. Это возможно, когда в одних частях контура проекции век­тора поля положительны, а в других – отрицательны (рис. 49) и общая сумма проекций по всем эле­ментам контура равна нулю.

6. Определим понятие «ротор векторного поля».

Рассмотрим в векторном поле про­извольную точку А и в ее окрестности рассмотрим малый контур DL, ограни­чивающий площадь D S (рис. 50).

Рассмотрим циркуляцию поля по контуру DL. Очевидно, что величина и знак циркуляции зави­сят от ориентации контура по от­ношению к полю. Находим такую ориентацию, при которой циркуля­ция максимальна по величине и по­ложительна по знаку. Вектор нормали в такой ориентации обозначим .

Предел отношения циркуляции по контуру к пло­щади, ограниченной этим контуром, при стягивании контура DL в точку А

называется ро­тором поля в точке А. Ротор вектора можно вычислить так:

.

Символический определитель «раскрывается» по первой строке.

О ситуации, когда циркуляция поля по контурам в малой окрестности точки отлична от нуля, говорят как о завихренности поля в окрестности этой точки. Тогда модуль вектора характеризует степень завихренности векторного поля . Направлен этот вектор по нормали к плоскости, в которой имеет место максимальная завихренность, причем так, что при наблюдении с конца вектора завихренность направлена против часовой стрелки.

Пример. В гидродинамике ротор вектора скорости частиц жид­кости отражает наличие у них вращательного движения с некоторой угловой скоростью.

7. Рассмотрим безвихревые и соленоидальные поля.

Если в векторном поле есть контуры с отличной от нуля циркуляцией, то в этом поле обяза­тельно есть точки с отличным от нуля ротором. И, наобо­рот, в полях, в которых отсутствуют контуры с отличной от нуля циркуляцией, нет и точек с отличным от нуля ротором. Такие поля являются безвихревыми. Следова­тельно, условия безвихревого характера поля записыва­ются в виде:

.

Первое из них называется дифференциальным условием, а второе – интегральным условием безвихревого ха­рактера поля.

Векторные поля, в которых отсутствуют источники и стоки, называются соленоидальными полями. Наи­более распространены такие виды соленоидальных полей, линии которых либо замкнуты, либо обоими концами уходят в бесконечность. Очевидно, что поток соленоидального поля через любую замкнутую поверх­ность равен нулю, поскольку всякая вошедшая внутрь поверхности линия поля должна из нее выйти. Поэтому условие соленоидальности поля может быть записано в двух формах – в дифференциальной и интегральной:

.

Если в качестве контура взять любую из замкнутых линий соленоидального поля, то, очевидно, циркуляция поля по такому контуру будет отлична от нуля. Сле­довательно, соленоидальное поле обязательно является вихревым. Но обратное утверждение неверно: вихревое поле вовсе не обязательно будет соленоидальным, ибо существование завихренностей не связано с обязатель­ной замкнутостью линий поля.

8. Математические формулы Гаусса-Остроградского и Стокса.

Согласно формуле Гаусса-Остроградского, поток векто­ра через произвольную замкнутую поверхность Sравен интегралу от дивергенции этого вектора, взятому по объему V, ограниченному рассматриваемой поверхностью: .

Согласно теореме Стокса, циркуляция вектора по замкнутой кривой равна потоку ротора этого вектора через поверхность S, опирающуюся на кривую L: .

Приложение 6

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: