Системой m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными называется система вида

-действительные числа, называемые коэффициентами системы, а -действительные числа, называемые свободными членами.

Система называется совместной, если существует хотя бы одно ее решение, то есть если найдется такой набор чисел, что при подстановке этих чисел вместо соответствующих переменных, каждое уравнение системы обращается в тождество.

Возможны три случая:
- система не имеет решений;

- система имеет единственное решение;

- система имеет бесконечно много решений.

Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги ее основной и расширенной матриц равны.

Основной матрицей системы называется матрица ее коэффициентов, расширенно й- матрица, включающая помимо коэффициентов столбец свободных членов.

Существуют три основных метода решения СЛАУ.

1) Матричный метод, основанный на матричной записи системы . Вектор-столбец решения находится как . Ввиду громоздкости вычислений применяется в основном в теории.

2) Метод Крамера, заключается в вычислении основного определителя системы и определителей , в которых i-тый столбец заменен столбцом свободных членов. Решение системы в этом случае: .

3 ) Метод Гаусса, или метод последовательного исключения переменных. Система уравнений, а точнее, ее расширенная матрица путем элементарных преобразований (замена уравнений местами, умножение уравнения на число, прибавление к одному уравнению системы другого, умноженного на некоторое число) приводится к ступенчатому виду. Далее из каждого уравнения, начиная с последнего, выражается соответствующая переменная. Метод Гаусса - самый универсальный из предложенных, позволяет решать практически все системы.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений - это системы, в которых столбец свободных членов равен 0. Однородная система уравнений совместна всегда, так как она имеет нулевое решение.

Теорема. Однородная СЛАУ имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Система решений называется фундаментально й, если любое решение СЛАУ выражается в виде ее линейной комбинации.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: