Основные теоретические положения. Момент инерции – это величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.

Момент инерции – это величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.

Для материальной точки момент инерции определяется как произведение массы на квадрат расстояния до оси вращения: I = m r ². В прямоугольной системе координат (рис. 5.1) материальная точка массой m и координатами (x, y, z) имеет относительно осей OX, OY, OZ три момента инерции соответственно I_x, I_y, I_z, которые определяются формулами

;

; (5.1)

.

Момент инерции системы материальных точек относительно неподвижной оси равен сумме произведений массы каждой точки на квадрат расстояния до оси вращения

. (5.2)

Тогда моменты инерции системы материальных точек относительно осей декартовой системы координат OX, OY и OZ равны

;

; (5.3)

.

При определении момента инерции твердого тела его разбивают на достаточно большое число элементарных частей (элементарных масс) и представляют как систему большого числа материальных точек. Тогда момент инерции твердого тела I определяется по формуле (5.2), а моменты инерции I_x, I_y, I_z относительно осей декартовой системы координат равны соответствующим выражениям в (5.3).

Для более точного вычисления момента инерции сплошного твердого тела необходимо суммирование в (5.2) заменить интегрированием

, (5.4)

где dm =r dV, r – плотность тела в элементарном объеме dV; r – расстояние этого объема до оси вращения. Формулы (5.2)-(5.4) показывают, что момент инерции твердого тела зависит от распределения массы, формы тела, а также от расположения оси вращения.

Если известен момент инерции I_c тела относительно некоторой оси, проходящей через центр масс, то можно определить момент инерции I относительно любой параллельной оси:

I = I_c + m a ²,

где m – масса тела; a – расстояние между параллельными осями. Это утверждение носит название теоремы Штейнера.

В настоящей работе измеряются моменты инерции однородных симметричных твердых тел куба и параллелепипеда относительно разных осей вращения. Введем для них прямоугольную систему координат OXYZ с началом в центре масс, оси которой совпадают с геометрическими осями симметрии тел (рис. 5.1). В такой системе координат для момента инерции твердого тела относительно любой оси вращения, проходящей через центр масс, выполняется равенство

, (5.5)

в котором – единичный вектор, определяющий направление оси вращения

(5.6)

Здесь a, b, g – углы между направлением вектора и осями координат OX, OY, OZ (рис. 5.1); cos a, cos b, cos g – направляющие косинусы.

В работе для измерения моментов инерции твердого тела и проверки формулы (5.5) применяется метод крутильных колебаний. Схема экспериментальной установки изображена на рис. 5.2. Если свободную рамку 1 повернуть на некоторый угол j, то происходит закручивание проволоки, на которой она подвешена. Тогда силы упругости стремятся повернуть рамку в исходное положение. Момент M возвращающей силы при относительно малом угле поворота j связан с ним соотношением

, (5.7)

где D – коэффициент, называемый модулем кручения проволоки. Величина D зависит от длины проволоки, ее диаметра и модуля сдвига, характеризующего упругие свойства материала.

Запишем основной закон динамики вращательного движения для рамки

, (5.8)

где – угловое ускорение; I_p – момент инерции рамки. Из формул (5.7) и (5.8) получаем дифференциальное уравнение движения рамки

, (5.9)

которое является уравнением колебаний с циклической частотой и периодом колебаний рамки

. (5.10)

Закрепим исследуемое твердое тело 4 в рамке 1 (рис. 5.2) так, чтобы одна из его геометрических осей симметрии совпала с осью вращения рамки. Теперь момент инерции крутильного маятника I_M равен сумме момента инерции образца I и момента инерции I_р рамки

. (5.11)

Запишем формулу для периода колебаний рамки с телом, аналогичную (5.10), и получим

. (5.12)

Исключая из (5.10) и (5.12) величину D, находим момент инерции тела

. (5.13)

Формула (5.13) позволяет выразить момент инерции тела I относительно оси маятника через момент инерции I_p свободной рамки. Для этого надо измерить периоды колебаний T_p и T соответственно свободной рамки и для рамки с телом.

Период колебаний T, так же как и момент инерции тела (5.5), зависит от ориентации тела по отношению к оси маятника. Запишем (5.13) в виде

, (5.14)

где – единичный вектор, направленный вдоль оси маятника.

В лабораторной установке ось маятника (она же ось вращения тела) направлена по вертикали. Поэтому во всех опытах следует считать, что единичный вектор направлен вертикально вверх. Момент инерции тела относительно вертикальной оси, то есть I (), измеряют, поворачивая тело и закрепляя его в различных положениях по отношению к этой оси (рис. 5.1). Направив оси OX, OY, OZ вдоль осей симметрии твердого тела, мы выбрали систему координат OXYZ, жестко связанную с ним. Поворачивая тело, мы изменяем направление вектора в жестко связанной с телом системе координат OXYZ.

Закрепим тело в рамке так, чтобы ось вращения совпала с какой-либо осью OX, OY, OZ. Тогда из (5.14) получим

. (5.15)

где T_x, T_y, T_z – соответственно периоды колебаний маятника, когда ось его вращения совпадает с одной из осей OX, OY или OZ.

Подставив (5.14) и (5.15) в исходное соотношение (5.5), получим для квадрата периода равенство

. (5.16)

Таким образом определяется связь между периодами крутильных колебаний тела T_x, T_y, T_z относительно его осей симметрии OX, OY, OZ и периодом колебаний этого же тела относительно оси с направляющими косинусами cos a, cos b и cos g. Формула (5.16) удобна тем, что все входящие в нее величины в условиях эксперимента могут быть измерены непосредственно.

Период колебаний T – это продолжительность одного полного колебания. Величину T можно измерить как время между двумя последовательными прохождениями рамкой положения равновесия в одном и том же направлении. Для повышения точности измерений T его находят, измеряя длительность t некоторого числа N полных колебаний, тогда

. (5.17)

Рассмотрим исследуемые твердые тела в форме куба и прямоугольного симметричного и несимметричного параллелепипедов.

Однородный куб. Все три момента инерции куба относительно осей OX, OY и OZ одинаковые I_x = I_y = I_z. Из формулы (5.5) с учетом равенства (5.6) находим

. (5.18)

Таким образом, моменты инерции однородного куба относительно любых осей, проходящих через его центр, одинаковы. Период крутильных колебаний куба также должен быть одинаковым для любой оси вращения, проходящей через его центр: = T_z =const. Это утверждение доказывается, если (5.18) подставить в (5.15) и найти Т_x, Т_y, Т_z., а затем воспользоваться формулой (5.16). Проверить его можно также экспериментально, закрепив куб в рамке в различных положениях, при которых ось вращения проходит через центр куба, и измерив соответствующие периоды крутильных колебаний.

Симметричный прямоугольный параллелепипед. В этом случае два момента инерции параллелепипеда относительно осей OX и OY и соответствующие им периоды крутильных колебаний равны между собой: I_x = I_y, T_x = T_y. Из (5.5) и (5.16) с учетом равенства

получаем

, (5.19)

. (5.20)

Таким образом, период крутильных колебаний T () зависит только от угла g, который ось вращения образует с осью тела OZ. Величина T () не зависит от углов a и b (при g=const). В частности, должен быть одинаковым период колебаний относительно любой оси, лежащей в плоскости OXY (то есть при ). В этом случае cos g=0 и, согласно (5.20), . Проверить это соотношение можно, закрепляя в рамке крутильного маятника симметричный параллелепипед так, чтобы ось вращения была перпендикулярна его большому ребру. Периоды крутильных колебаний при любом таком положении тела должны совпадать.

Несимметричный параллелепипед. Такой параллелепипед имеет относительно осей OX, OY, OZ три разных периода крутильных колебаний Т_x, Т_y и Т_z.

Закрепим параллелепипед в рамке так, чтобы ось вращения совпала с его главной диагональю АВ (рис. 5.1). Вычислив направляющие косинуса cos a, cos b и cos g, из (5.16) находим

. (5.21)

Аналогично для осей EF, MN и PQ из (5.16) следует

(5.22)

Таким образом, для проверки формулы (5.16) в случае несимметричного параллелепипеда необходимо выяснить, выполняются ли соотношения(5.21) и (5.22) для измеренных значений периодов колебаний.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: