ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:

Момент импульса и момент силы. Динамика вращения твёрдого тела

12 3 Следующая ⇒

Скорости точки А соответствует импульс частицы тела в этой точке . (Рис.2)

Рис.2

Рассмотрим плоскость, содержащую этот импульс и радиус-вектор точки А относительно точки О оси вращения. (Рис.3)

Моментом импульса называется вектор . Он перпендикулярен рассматриваемой плоскости и направлен вдоль оси вращения, как и векторы и .

Модуль , где величина плечо вектора относительно точки О.

угол между векторами и .

Рис.3

Момент импульса изменяется, только если на частицу действует вращающая сила. Если она приложена к объекту не в центре масс, то она создаёт вращающий момент (момент силы), или в скалярной форме М_F = rFsinα, где α – угол между вектором силы и радиус-вектором вращающейся точки относительно оси вращения.

(Рис.4, аналогичен рис.3).

Рис.4

b = r sinα – плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от оси вращения объекта до направления действия силы. Можно записать в скалярной форме .

Момент импульса и момент силы связаны с моментом инерции тела: если ось вращения неподвижна, то в проекции на неё момент силы

и момент импульса , где – момент инерции объекта.

Момент инерции тела определяется как , т.е. выделяется малый участок тела массой , определяется расстояние от него до оси вращения и берётся интеграл по всему телу.

Момент инерции определяет инерционные свойства тела при его вращении (как масса при поступательном движении).

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения .

Для некоторых симметричных однородных тел момент инерции относительно геометрической оси вращения приводится обычно в таблице:

- тонкостенный цилиндр, кольцо, обруч радиуса -

- сплошной цилиндр, диск радиуса -

- шар радиуса -

- тонкий стержень длины :

а) ось проходит через центр масс стержня перпендикулярно ему -

б) ось проходит через конец стержня перпендикулярно ему -

- тонкое кольцо, если ось вращения лежит в плоскости кольца и проходит через его центр - .

Теорема Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен моменту инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.:

Теорема Штейнера позволяет определить момент инерции тела относительно любой оси вращения.

В каждой конкретной задаче для твёрдого тела нужно найти вращающие силы, сложить алгебраически их моменты и записать основное уравнение динамики: .

Если его недостаточно для ответа на вопрос задачи, нужно записать ещё и второй закон Ньютона для всех действующих на объект сил.

Задача 1

На горизонтальную неподвижную ось насажен блок в виде сплошного цилиндра массы . Через него перекинута невесомая верёвка, на концах которой висят два человека массой каждый. Один человек начинает подниматься с ускорением относительно верёвки. С каким ускорением относительно неподвижной системы координат станет двигаться другой человек? (Рис.5)

Дано: m_ц, m_о, . -?

Рис.5

Как только один человек начинает подниматься по верёвке, вся система приходит в движение: движется по блоку верёвка, заставляя его поворачиваться вокруг оси; висящий на верёвке другой человек тоже вместе с ней начинает перемещаться относительно комнаты.

Ускорение требуется найти для второго человека, для него уравнение движения (он относительно верёвки неподвижен):

Неизвестна сила натяжения его части верёвки . Поскольку блок вращается, значит, силы и не равны. Сила входит ещё в основное уравнение динамики для блока. Для него вращающими силами являются силы натяжения обеих сторон верёвки. Плечом для этих сил является радиус блока.