ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Момент импульса и момент силы. Динамика вращения твёрдого телаСкорости точки А соответствует импульс частицы тела в этой точке . (Рис.2)
Рис.2
Рассмотрим плоскость, содержащую этот импульс и радиус-вектор точки А относительно точки О оси вращения. (Рис.3)
Моментом импульса называется вектор . Он перпендикулярен рассматриваемой плоскости и направлен вдоль оси вращения, как и векторы и . Модуль , где величина плечо вектора относительно точки О. . угол между векторами и .
Рис.3
Момент импульса изменяется, только если на частицу действует вращающая сила. Если она приложена к объекту не в центре масс, то она создаёт вращающий момент (момент силы), или в скалярной форме МF = rFsinα, где α – угол между вектором силы и радиус-вектором вращающейся точки относительно оси вращения. (Рис.4, аналогичен рис.3). Рис.4
b = r sinα – плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от оси вращения объекта до направления действия силы. Можно записать в скалярной форме .
Момент импульса и момент силы связаны с моментом инерции тела: если ось вращения неподвижна, то в проекции на неё момент силы и момент импульса , где – момент инерции объекта. Момент инерции тела определяется как , т.е. выделяется малый участок тела массой , определяется расстояние от него до оси вращения и берётся интеграл по всему телу. Момент инерции определяет инерционные свойства тела при его вращении (как масса при поступательном движении). Момент инерции материальной точки относительно оси вращения . Для некоторых симметричных однородных тел момент инерции относительно геометрической оси вращения приводится обычно в таблице: - тонкостенный цилиндр, кольцо, обруч радиуса - - сплошной цилиндр, диск радиуса - - шар радиуса - - тонкий стержень длины : а) ось проходит через центр масс стержня перпендикулярно ему - б) ось проходит через конец стержня перпендикулярно ему - - тонкое кольцо, если ось вращения лежит в плоскости кольца и проходит через его центр - .
Теорема Штейнера Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен моменту инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.:
Теорема Штейнера позволяет определить момент инерции тела относительно любой оси вращения.
В каждой конкретной задаче для твёрдого тела нужно найти вращающие силы, сложить алгебраически их моменты и записать основное уравнение динамики: . Если его недостаточно для ответа на вопрос задачи, нужно записать ещё и второй закон Ньютона для всех действующих на объект сил.
Задача 1 На горизонтальную неподвижную ось насажен блок в виде сплошного цилиндра массы . Через него перекинута невесомая верёвка, на концах которой висят два человека массой каждый. Один человек начинает подниматься с ускорением относительно верёвки. С каким ускорением относительно неподвижной системы координат станет двигаться другой человек? (Рис.5) Дано: mц , mо , . -?
Рис.5
Как только один человек начинает подниматься по верёвке, вся система приходит в движение: движется по блоку верёвка, заставляя его поворачиваться вокруг оси; висящий на верёвке другой человек тоже вместе с ней начинает перемещаться относительно комнаты. Ускорение требуется найти для второго человека, для него уравнение движения (он относительно верёвки неподвижен): Неизвестна сила натяжения его части верёвки . Поскольку блок вращается, значит, силы и не равны. Сила входит ещё в основное уравнение динамики для блока. Для него вращающими силами являются силы натяжения обеих сторон верёвки. Плечом для этих сил является радиус блока. Сила входит в уравнение Ньютона для первого человека: , так как он движется и относительно верёвки и вместе с верёвкой тоже. Итак, есть система трёх уравнений: ; ; Момент инерции блока . Угловое ускорение , а тангенциальное ускорение точек обода блока равно линейному ускорению любой точки верёвки, а значит, и второго человека: , поэтому = и Из двух первых уравнений Приравняем оба уравнения для сил натяжения: , откуда получаем (разобрали, должны решить сами)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|