Проекции прямых линий

Положение прямой линии в пространстве вполне определяется двумя ее любыми точками. В общем случае проекцией прямой является прямая, в частном случае - точка, если прямая перпендикулярна плоскости проекций. Для построения проекций прямой достаточно иметь либо проекции двух ее точек, либо проекцию одной точки прямой и направление прямой в пространстве.

По своему расположению в пространстве относительно плоскостей проекций прямые линии разделяют на прямые общего положения, уровня и проецирующие.

2.2.1. Прямые общего положения. Это прямые, не параллельные и не перпендикулярные к плоскостям проекций. Проекции А₁В₁, А₂В₂ и А₃В₃ отрезка АВ прямой АВ общего положения (рис. 2.18, а) наклонены под острыми углами к осям x₁₂, y₁₃ и z₂₃. Длины проекций отрезков этой прямой всегда меньше самого отрезка. Трехкартинный комплексный чертеж отрезка прямой общего положения, построенный по двум точкам А и В, показан на рис.2.18, б.

2.2.2. Прямые уровня. Это прямые, параллельные одной из плоскостей проекций - П₁, П₂ или П₃. Следовательно, имеем три вида прямых уровня:

1) горизонтальная уровня a (горизонталь), параллельная П₁ (прямая a с отрезком AB на ней на рис. 2.19, а, б);

2) фронтальная уровня (фронталь), параллельная П₂ (прямая b c отрезком CD на ней на рис. 2.20, а);

3) профильная уровня, параллельная П₃ (прямая с с отрезком ЕF на ней на рис. 2.20, б). На рис. 2.20 наглядные изображения прямых b и c относительно плоскостей проекций не показаны.

Одноименные проекции отрезков прямых уровня проецируются в натуральную величину, а разноименные параллельны осям, отделяющим их от одноименных. При этом для горизонтали одноименная проекция - горизонтальная, а разноименные - фронтальная и профильная и т. п.

Углы наклона прямых уровня a, b и c к плоскостям проекций П₁, П₂ и П₃ принято обозначать соответственно α, β и γ (на рис. 2.19 углы α, β и γ не показаны).

2.2.3. Проецирующие прямые. Это прямые, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций и параллельные двум другим. Следовательно, имеем три вида проецирующих прямых:

1) горизонтально-проецирующая прямая, перпендикулярная П₁ (прямая а с отрезком AB на ней на рис. 2.21, а);

2) фронтально-проецирующая прямая, перпендикулярная П₂ (прямая b с отрезком CD на ней на рис. 2.21, б);

3) профильно-проецирующая прямая, перпендикулярная П₃ (прямая c с отрезком EF на ней на рис. 2.21, в).

На рис. 2.21 в скобки заключены проекции невидимых точек. Вопрос определения видимости точек на проекциях подробнее будет рассмотрен ниже в п. «Скрещивающиеся прямые».

У проецирующих прямых одноименные проекции представляют собой точки, что вытекает из существа проецирующей прямой, вдоль которой ведется проецирование.

Каждая разноименная проекция проецирующей прямой перпендикулярна оси, отделяющей ее от одноименной проекции, а разноимённая проекция отрезка, расположенного на прямой уровня, является натуральной величиной этого отрезка.

2.2.4. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения. Натуральную величину прямой частного положения можно сразу определить на комплексном чертеже этой прямой.

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения можно применить рассмотренный ранее (см. п. 2.1.2) способ замены плоскостей проекций. На рис.2.22 показано определение натуральной величины (Н.В.) отрезка AB прямой общего положения и определение углов наклона его к Π₁ (угол α) и к Π₂ (угол β) этим способом.

Дополнительная плоскость Π₄ проведена параллельно AB (х₁₄||A₁B₁). Прямая AB преобразована в положение фронтали, следовательно A₄B₄ – натуральная величина AB.

Проведя дополнительную плоскость Π₅||AB (х₂₅||A₂B₂), также можно определить натуральную величину AB. A₅B₅ – натуральная величина AB. Прямая AB в системе Π₂ - Π₅ стала горизонталью.

На рис.2.23 показано определение натуральной величины AB методом треугольника. Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а другим – алгебраическая разность расстояний его концов от плоскости Π₁ (ΔZ).

2.2.5. Взаимное положение прямых. Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекаться и скрещиваться.

Параллельные прямые. Из свойств параллельных проекций следует, что если прямые в пространстве параллельны, то все три пары их одноименных проекций параллельны. Очевидно и обратное положение: если одноименные проекции прямых параллельны, то прямые в пространстве параллельны.

Пересекающиеся прямые. Две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку. Из свойств параллельных проекций известно, что если точка лежит на прямой, то ее проекции лежат на проекциях прямой. Если точка лежит и на той и на другой прямой, т. е. в точке пересечения прямых, то ее проекция должна лежать сразу на двух одноименных проекциях прямых, а следовательно, в точке пересечения проекций прямых.

Так, если отрезки AB и CD двух прямых пересекаются в точке K, то проекции отрезков A₁B₁ и C₁D₁ пересекаются в точке K₁, являющейся проекцией точки K (рис. 2.26, а). Поэтому, если одноименные проекции прямых пересекаются в точках, лежащих на одной линии проекционной связи, то прямые в пространстве пересекаются (рис. 2.26, б).

Для определения того, пересекаются прямые или нет, достаточно, чтобы это условие выполнялось для двух каких-либо проекций. Исключение составляет случай, когда одна из пересекающихся прямых является профильной уровня. В этом случае для проверки пересечения прямых необходимо построение профильной проекции.

Пусть через точку A необходимо провести горизонталь b, пересекающую прямую a (рис. 2.27, а). Для этого через точку A₂ проводим b₂║ x₁₂ (этап 1) до пересечения с a₂ в точке K₂ (рис.2.27, б). Далее с помощью линии проекционной связи на a₁ находим точку K₁ (этап 2) и, соединяя точки A₁ и K₁ (этап 3), получаем b₁.

Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые a и b не лежат в одной плоскости и, следовательно, не параллельны и не имеют общих точек (рис.2.28, а). Поэтому, если прямые скрещивающиеся, то хотя бы одна пара их одноименных проекций не параллельна, и точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии проекционной связи (рис. 2.28, б).

Каждая такая точка пересечения является проекцией двух точек, принадлежащих прямым; эти две точки лежат на одном проецирующем луче и называются конкурирующими.

Точки K и L (рис. 2.28, а) лежат на одном горизонтально-проецирующем луче. Горизонтальные проекции точек совпадают и находятся в точке пересечения горизонтальных проекций a₁ и b₁ прямых. Точка K a, точка L b. Видно, что точка K выше точки L. Считают, что при проецировании на П₁ точка K видна, а точка L - не видна (закрыта от наблюдателя точкой К).

Точки M и N лежат на одном фронтально-проецирующем луче (рис. 2.28, б). Фронтальные проекции точек совпадают и находятся в точке пересечения фронтальных проекций прямых a₂ и b₂. Точка M a, точка N b. Точка N дальше от П₂, чем точка M, т. е. ближе к глазам наблюдателя, и поэтому при проецировании на П₂ точка N видна, а точка M - не видна. Обозначения проекций невидимых точек принято заключать в круглые скобки.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: