Вертикальные углы равны.
3. Признаки равенства треугольников.
- по двум сторонам и углу между ними;
- по стороне и двум прилегающим к ней углам;
- по трем сторонам.
4. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектрисой треугольника называют отрезок прямой, заключенной между вершиной и точкой ее пересечения с противоположной стороной, которая делит угол пополам.
Высота треугольника – это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение.
5.Треугольник называют равнобедренным, если у него две стороны равны.
- в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
- если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;
- в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
6. Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Остальные две стороны, называются катетами.
Свойства сторон и углов прямоугольного треугольника:
- углы, противолежащие катетам – острые;
- гипотенуза больше любого из катетов;
- катет, лежащий против угла в 30 , равен половине гипотенузы.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
- по катету и острому углу;
- по двум катетам;
- по гипотенузе и катету;
- по гипотенузе и острому углую
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
7. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.
8. (Неравенство треугольника). У каждого треугольника сумма двух сторон больше третьей стороны.
9. Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углу треугольника.
10. Сумма внутренних углов треугольника:
- сумма углов треугольника равна 180°;
- внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.
- сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
11. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника называется средней линией треугольника.
Средняя линия треугольника обладает свойством – она параллельна основанию треугольника и равна ее половине.
12.Свойства серединного перпендикуляра отрезка:
- точка лежащая на серединном перпендикуляре одинаково удалена от концов отрезка;
- любая точка, одинаково удаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.
Свойства биссектрисы угла:
- любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от сторон угла;
- любая точка, одинаково удаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе угла.
13. Существование окружности, описанной около треугольника:
- все три серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности. Описанная около треугольника окружность всегда существует и она единственна;
- центром описанной окружности прямоугольного треугольника является середина гипотенузы.
14. Существование вписанной в треугольник окружности:
- все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности.
-вписанная в треугольник окружность всегда существует и она единственна.
15. Признаки параллельности прямых.
Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых:
- две прямые, параллельные третьей - параллельны;
- если при пересечении двух прямых третьей, накрест лежащие углы равны, односторонние углы в сумме равны 180°, соответственные углы равны, то эти прямые параллельны;
- если параллельные прямые пересечены третьей прямой, то накрест лежащие углы, односторонние углы в сумме равны 180°, соответственные углы равны.
- две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой – параллельны;
- прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и второй.
16. Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки.
Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметр – хорда, проходящая через центр.
Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол – угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность.
Теоремы, относящиеся к окружности:
- радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;
- диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей;
- квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть;
- центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается;
- вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается;
- касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны;
17. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма:
- противоположные стороны равны;
- противоположные углы равны;
- диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам;
- если в выпуклом четырехугольнике противоположные стороны равны, то такой четырехугольник – параллелограмм;
- если в выпуклом четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник – параллелограмм;
- если в выпуклом четырехугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм;
18. Параллелограмм, все стороны которого равны, называется ромбом.
Дополнительные свойства и признаки ромба:
- диагонали ромба взаимно перпендикулярны;
- диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов;
- если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, или являются биссектрисами соответствующих углов, то этот параллелограмм – ромб.
19. Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.
Дополнительные свойства и признаки прямоугольника:
- диагонали прямоугольника равны;
- если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм – прямоугольник;
20. Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.
Дополнительные свойства и признаки квадрата:
- диагонали квадрата равны и перпендикулярны;
- если диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, то такой четырехугольник – квадрат.
21. Четырехугольник, две стороны которого параллельны, называется трапецией.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции называется средней линией трапеции.
Свойства трапеции:
- в равнобокой трапеции углы при основании равны;
- средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
22. Признаки подобия треугольников:
- по двум углам;
- по двум пропорциональным сторонам и углу между ними;
- по трем пропорциональным сторонам.
23. Соотношения в многоугольниках:
- все правильные многоугольники подобны друг другу;
- сумма углов любого выпуклого многоугольника равна 180°(n -2);
- сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°.
- периметры подобных многоугольников относятся, как их сходственные стороны, и это отношение равно коэффициенту подобия;
- площади подобных многоугольников относятся, как квадраты их сходственных сторон, и это отношение равно квадрату коэффициента подобия;
Важнейшие теоремы планиметрии:
Теорема Фалеса.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне равные отрезки, то эти прямые отсекают на другой стороне также равные отрезки.
Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: .
26. Теорема косинусов.
В любом треугольнике, квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними: .
Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов: , где - радиус окружности, описанной около этого треугольника.
28. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
29. Три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
30. Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам.
31. Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.
32. Четырехугольник можно описать вокруг окружности, если суммы длин противоположных сторон равны.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|