ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Окружность, круг. Хорды, дугиОсновные понятия
11.1. Найти величины смежных углов, если: а) один из них больше второго на 30о; б) один из них в 8 раз меньше другого; в) разность их величин составляет 44о; г) отношение их величин равно 2. Ответы: а) 75о и 105о; б) 20о и 160о; в) 112о и 68о; г) 120о и 60о. 11.2. В каждом из смежных углов AOB и BOC проведены соответственно биссектрисы OD и OM. Найти углы DOB и BOM, если разность их величин равна 14о. Ответ: 52о, 38о.
11.3. В каждом из смежных углов AOB и BOC проведены соответственно биссектрисы OD и OM. Найти величины углов AOD и MOC, если они относятся как 2: 3. Ответ: 34о, 54о.
11.4. В каждом из смежных углов АОС и СОВ проведены внутренние углы соответственно ОМ и ОР так, что Найти величины углов MOA и POB, если величина угла MOA в четыре раза больше величины угла POB. Ответ: 112о, 48о.
11.5. Углы САВ и ВАD смежные. Найти величину угла между перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой СD, и биссектрисой угла САВ, если Ответ: 40о.
11.6. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Найти их величины, если: а) сумма двух углов равна 100о; б) разность двух углов равна 20о; в) сумма трех углов равна 300о. Ответ: а) 50о и 130о; б) 80о и 100о; в) 60о и 120о. 11.7. Один из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей на 60о меньше другого. Найти больший из этих углов. Ответ: 120о.
11.8. Один из двух внутренних углов при параллельных прямых и секущей в 17 раз больше другого. Найти меньший из этих углов. Ответ: 10о.
Треугольники
11.9. Углы треугольника пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найти наибольший угол треугольника. Ответ: 80о.
11.10. Угол при вершине равнобедренного треугольника на 60о больше угла при основании. Найти угол при основании треугольника. Ответ: 40о.
11.11. В равнобедренном треугольнике угол, смежный с углом при вершине треугольника, равен 70о. Найти угол при основании треугольника. Ответ: 35о.
11.12. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а его катеты относятся как 5: 12. Найти больший катет треугольника. Ответ: 24 см.
11.13. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза больше другого катета на 8 см. Найти площадь треугольника. Ответ: 30 см2.
11.14. Найти площадь равнобедренного треугольника по его гипотенузе, равной см. Ответ: 8 см2. 11.15. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найти длину медианы, проведенной к гипотенузе. Ответ: 5 см.
11.16. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная из вершины прямого угла, равна одному из катетов. Найти меньший угол треугольника. Ответ: 30о.
11.17. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1: 2. Больший катет равен см. Найти радиус описанной окружности. Ответ: 4 см.
11.18. В прямоугольном треугольнике АВС Около треугольника описана окружность с центром в точке О. Найти величину Ответ: 100о.
11.19. Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 10 см, а один из катетов равен 6 см. Найти другой катет. Ответ: 8 см.
11.20. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 10 см и 26 см. Найти радиус вписанной окружности. Ответ: 4 см.
11.21. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, а косинус одного угла равен 0,8. Найти больший катет. Ответ: 16 см.
11.22. В прямоугольном треугольнике тангенс одного угла равен 0,6, а меньший катет равен 3 см. Найти больший катет. Ответ: 5 см. 11.23. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 3 см, а котангенс прилежащего угла – 0,75. Найти гипотенузу. Ответ: 5 см.
11.24. Из вершины прямого угла А прямоугольного треугольника к гипотенузе проведены медиана АМ и высота АК. Найти длину отрезка МК, если катеты равны 6 см и см. Ответ: 0,5 см.
11.25. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 1: 3. Найти высоту треугольника, опущенную из вершины прямого угла, если гипотенуза равна 40 см. Ответ: 12 см.
11.26. Из одной точки проведены перпендикуляр и две наклонные длиной 10 см и 17 см к данной прямой. Проекции наклонных относятся как 2: 5. Найти длину перпендикуляра. Ответ: 8 см.
11.27. В прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 5 см вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти периметр квадрата. Ответ: 7,5 см.
11.28. В прямоугольный треугольник с углом 60о вписан ромб так, что угол в 60о у них общий, остальные три вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найти длину общего катета, если длина стороны ромба равна см. Ответ: 1,8 см.
11.29. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие – на катетах. Сторона квадрата равна 3 см. Найти длину гипотенузы. Ответ: 7 см.
11.30. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник таким образом, что он имеет с треугольником общий прямой угол. Периметр этого прямоугольника равен 25 см. Найти катет треугольника. Ответ: 12,5 см.
11.31. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан ромб так, что один острый угол у них общий и все четыре вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найти сторону ромба, если длина катета равна см. Ответ: 0,4 см.
11.32. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а проекция меньшего катета на гипотенузу равна 3,6 см. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Ответ: 2 см.
11.33. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания окружности и гипотенузы делит ее на отрезки 3 см и 10 см. Найти больший катет. Ответ: 12 см.
11.34. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 см и 5 см. Найти больший катет треугольника. Ответ: 8 см.
11.35. Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе, а длины катетов равны 3 см и см. Ответ: 2,1 см.
11.36. Найти радиус круга, описанного около равностороннего треугольника со стороной см. Ответ: 12 см. 11.37. Площадь правильного треугольника равна см2. Найти длину его биссектрисы. Ответ: 1 см.
11.38. В равностороннем треугольнике высота равна 9 см. Найти радиус вписанной в треугольник окружности. Ответ: 3 см.
11.39. Радиус окружности равен 10 см. Найти длину медианы вписанного в нее правильного треугольника. Ответ: 15 см.
11.40. Около равностороннего треугольника описана окружность радиуса см, через центр которой проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника. Найти длину отрезка прямой, заключенного между двумя другими сторонами треугольника. Ответ: 4 см.
11.41. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 5 см, а косинус угла при основании равен 0,6. Найти радиус вписанного круга. Ответ: 1,5 см.
11.42. В треугольнике АВС известно, что угол А равен 45о и котангенс угла В равен 0,25. Найти сторону АВ, если площадь треугольника равна 10 см2. Ответ: 5 см.
11.43. Серединный перпендикуляр к боковой стороне АВ равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону АС в ее середине О. Найти расстояние ОВ, если длина АС равна 20 см. Ответ: 10 см.
11.44. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна см, а угол при вершине 60о. Ответ: 4 см. 11.45. Периметр равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) равен 110 см, а отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен 15 см. Найти длину боковой стороны. Ответ: 40 см.
11.46. Угол при вершине равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) равен 53о, а его площадь равна 360 см2. Найти длину боковой стороны треугольника (sin 53о = 0,8). Ответ: 30 см.
11.47. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса см. Угол при основании 60о. Найти длину основания треугольника. Ответ: 6 см.
11.48. Основание равнобедренного треугольника в 3 раза меньше его боковой стороны, а его периметр равен 14 см. Найти длину основания треугольника. Ответ: 2 см.
11.49. В равнобедренном треугольнике основание равно см, угол при вершине 120о. Определить проекцию высоты, проведенной к основанию, на боковую сторону. Ответ: 3 см.
11.50. Найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к основанию, равна см и угол при вершине В равен 120о. Ответ: 12 см.
11.51. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны 30о, а высота, опущенная на это основание, равна 3 см. Найти радиус окружности, описанной около треугольника. Ответ: 6 см.
11.52. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см и высотой 4 см. Ответ: 10 см. 11.53. Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника АВС при основании АС образует с основанием угол 126о. Найти величину угла АВС. Ответ: 36о.
11.54. Внутри треугольника АВС к стороне ВС проведена прямая AD так, что угол CAD равен углу ACD. Периметры треугольников ABC и ABD равны 18 см и 11 см соответственно. Найти длину AC. Ответ: 7 см.
11.55. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 5, сторона АВ равна 5 см, высота ВН равна 4 см. Найти длину стороны ВС. Ответ: 8 см.
11.56. В треугольник вписан ромб, угол которого совпадает с углом треугольника. Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 12 см и 18 см. Найти сторону ромба. Ответ: 7,2 см.
11.57. В треугольнике одна сторона равна см и противолежащий ей угол равен 30о, вторая сторона равна см. Найти третью сторону. Ответ: 3 см.
11.58. В треугольнике известны длины двух сторон: 6 см и 9 см, и угол между ними 30о. Найти площадь этого треугольника. Ответ: 13,5 см2.
11.59. В треугольнике АВС величина угла при вершине С равна π/6. Найти синус угла В, если АС = 12,3 см и АВ = 61,5 см. Ответ: 0,1.
11.60. В треугольнике АВС углы В и С равны соответственно π/3 и π/4. Найти длину стороны АС, если АВ = см. Ответ: 10,5 см. 11.61. В треугольнике АВС проведена медиана АК, равная см и составляющая со стороной АС угол 30о. Найти ВС, если угол ВСА равен 45о. Ответ: 6,5 см.
11.62. В треугольнике АВС даны три стороны см, см, см. Найти медиану Ответ: 2 см.
11.63. Найти меньшую высоту треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Ответ: 11,2 см.
Четырехугольники
11.64. В окружность радиуса см вписан квадрат. Из одной вершины этого квадрата проведены две хорды, стягивающие дуги по 120о. Найти длину отрезка диагонали квадрата, заключенного между этими хордами. Ответ: 6 см.
11.65. В прямоугольнике ABCD проведена диагональ AC. Известно, что угол ACB в 8 раз меньше, чем угол CAB. Найти угол CAB. Ответ: 80о.
11.66. Найти большую сторону прямоугольника площадью 400 см2, если его стороны относятся как 4: 1. Ответ: 40 см.
11.67. Высота, опущенная на диагональ прямоугольника, делит ее на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найти площадь прямоугольника. Ответ: 78 см. 11.68. На диагональ АС прямоугольника АВСD опущены высоты ВЕ и DТ. Найти площадь прямоугольника, если ЕТ = 16 см, а ВЕ = 6 см. Ответ: 120 см.
11.69. Сторона ромба равна 5 см, а меньшая диагональ 6 см. Найти большую диагональ. Ответ: 8 см.
11.70. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найти сторону ромба. Ответ: 10 см.
11.71. Найти тупой угол ромба, если высота, проведенная из его вершины, делит противоположную сторону пополам. Ответ: 120о.
11.72. Диагональ ромба равна его стороне. Найти больший угол ромба. Ответ: 120о.
11.73. Периметр ромба равен 24 см. Высота равна 3 см. Найти острый угол ромба. Ответ: 30о.
11.74. Вычислить периметр ромба, высота которого равна см, а острый угол в 2 раза меньше тупого. Ответ: 8 см.
11.75. В ромбе длины диагоналей равны 10 см и 15 см. Найти его площадь. Ответ: 75 см.
11.76. Найти площадь ромба со стороной 4 см, если радиус вписанной окружности равен 1,5 см. Ответ: 12 см2.
11.77. Сторона ромба равна 4 см. Радиус окружности, вписанной в этот ромб, равен 1 см. Найти величину острого угла ромба. Ответ: 30о. 11.78. Высота параллелограмма ABCD, опущенная на сторону AD из точки B, равна см. Найти площадь параллелограмма, если диагональ BD = 7 см, а угол BAD = 60о. Ответ: см2.
11.79. Периметр параллелограмма равен 92 см. Одна из его сторон больше другой на 4 см. Найти большую сторону параллелограмма. Ответ: 25 см.
11.80. Сумма двух противоположных углов параллелограмма равна 94о. Найти больший угол параллелограмма. Ответ: 133о.
11.81. Площадь параллелограмма равна 120 см2, а его стороны 15 см и 10 см. Найти большую высоту параллелограмма. Ответ: 12 см.
11.82. Площадь параллелограмма равна 150 см2, а его высоты 25 см и 10 см. Найти периметр параллелограмма. Ответ: 22 см.
11.83. Стороны параллелограмма равны 6 см и 16 см, а его тупой угол равен 120о. Найти меньшую диагональ параллелограмма. Ответ: 14 см.
11.84. Стороны параллелограмма равны см, см. Найти сумму квадратов длин диагоналей параллелограмма. Ответ: 30 см.
11.85. Диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см. Одна сторона равна 10 см. Найти другую сторону. Ответ: 15 см. 11.86. Одна из диагоналей параллелограмма, равная см, составляет с основанием угол 60о. Найти длину второй диагонали, если она составляет с тем же основанием угол 45о. Ответ: 13,5 см.
11.87. В параллелограмме боковая сторона равна 8 см, а острый угол при основании равен 30о. Найти проекцию высоты, опущенной на основание, на боковую сторону. Ответ: 2 см.
11.88. Периметр равнобедренной трапеции равен 36 см, а средняя линия равна 10 см. Найти боковую сторону трапеции. Ответ: 8 см.
11.89. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 52 см, высота равна 40 см, средняя линия равна 30 см. Найти ее большее основание. Ответ: 50 см.
11.90. В равнобедренной трапеции основания равны 6 см и 10 см. Диагональ равна 10 см. Найти площадь трапеции. Ответ: 48 см2.
11.91. Разность двух оснований равнобедренной трапеции равна 3 см. Синус угла при основании трапеции равен 0,8. Найти длину боковой стороны трапеции. Ответ: 2,5 см.
11.92. Периметр описанной около окружности трапеции равен 30 см. Найти ее среднюю линию. Ответ: 7,5 см.
11.93. В трапеции, площадь которой равна 161 см2, высота равна 7 см, а разность параллельных сторон равна 11 см. Найти длину большего основания. Ответ: 28,5 см. 11.94. В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна 15 см и перпендикулярна большей боковой стороне. Меньшая сторона равна 12 см. Найти большее основание трапеции. Ответ: 25 см.
11.95. Диагональ в прямоугольной трапеции, равная см, делит трапецию на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найти периметр трапеции. Ответ: 0,875 см.
11.96. Равнобедренная трапеция описана около круга. Боковая сторона трапеции делится точкой касания на отрезки длиной 12 см и 48 см. Найти площадь трапеции. Ответ: 2880 см2.
11.97. Средняя линия равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 68 см. Найти радиус этого круга, если нижнее основание трапеции больше верхнего на 64 см. Ответ: 30 см.
11.98. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найти среднюю линию трапеции, если ее периметр равен 48 см, а большее основание равно 18 см. Ответ: 14 см.
11.99. Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Определить углы трапеции. Ответ: 60о, 120о.
11.100. Основания трапеции равны 12 см и 6 см. Найти отношение площадей частей, на которые делится трапеция ее средней линией. Ответ: 5/7.
11.101. Диагональ равнобедренной трапеции образует с основанием угол, равный 30°. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 5 см. Ответ: см2. 11.102. В равнобедренной трапеции основания равны 7 см и 25 см, а диагональ равна 20 см. Найти площадь трапеции. Ответ: 192 см2.
11.103. В трапеции ABCD основаниями являются стороны BC и AD, O – точка пересечения диагоналей, AD = 18 см, AO = 10 см и ОC = 5 см. Найти длину BC. Ответ: 9 см.
11.104. В четырехугольнике ABCD прямая AC делит каждый из углов BAD и BCD пополам. Найти периметр четырехугольника, если PADC = 15 см, а равно AC 5 см. Ответ: 20 см.
Окружность, круг. Хорды, дуги 11.105. В окружности радиуса 26 см проведена хорда, равная 28 см. Найти длину отрезка, соединяющего середину хорды с центром окружности. Ответ: 10 см.
11.106. Найти расстояние от центра окружности до хорды, равной 6 см, если радиус окружности равен 5 см. Ответ: 4 см.
11.107. Хорда пересекает диаметр под углом 30° и делит его на два отрезка длиной 2 см и 6 см. Найти расстояние от центра круга до хорды. Ответ: 2 см.
11.108. В окружности с центром в точке О проведены хорда AB и радиус OD, которые пересекаются в точке C, причем известно, что см, см. Найти хорду. Ответ: 80 см.
11.109. На окружности с центром О лежит точка В. АВ – хорда, АС – касательная, Найти угол АОВ. Ответ: 70°. 11.110. В угол величиной 60° вписана окружность. Найти расстояние от центра окружности до вершины угла, если радиус окружности равен 7,5 см. Ответ: 15 см.
11.111. В круговой сектор, дуга которого содержит 60°, вписан круг. Найти отношение площади этого круга к площади сектора. Ответ: 2/3.
11.112. В круговой сектор вписана окружность, радиус которой в три раза меньше радиуса сектора. Найти величину центрального угла сектора. Ответ: 60°.
11.113. К окружности радиуса 5 см в точке В проведена касательная, на которой отмечена точка А на расстоянии 12 см от точки В. Найти расстояние от точки А до центра окружности. Ответ: 13 см.
11.114. Длина окружности равна 4π см. Найти площадь квадрата, вписанного в эту окружность. Ответ: 8 см2.
11.115. В круг вписан квадрат со стороной, равной см. Найти площадь круга. Ответ: 2 см2.
11.116. Найти площадь круга, если известно, что длина окружности круга вдвое меньшей площади равна 6π см. Ответ: 18 см2.
11.117. Центральный угол окружности на 50° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найти величину дуги. Ответ: 100°.
11.118. Окружность радиуса 2 см разогнута в дугу радиуса 15 см. Найти центральный угол. Ответ: 48°. 11.119. Круг радиуса 6 см делится концентрической окружностью на две части – на круг радиуса r и кольцо, площади которых относятся как 1: 3. Найти r. Ответ: 3 см.
11.120. Площадь кругового сектора равна 0,1π см2, радиус круга равен 1 см. Найти величину угла, опирающегося на дугу сектора с вершиной на окружности. Ответ: 18°.
11.121. Две окружности, каждая из которых вписана в угол величиной 60°, касаются друг друга внешним образом. Найти расстояние от точки касания окружностей до стороны угла, если радиус большей окружности равен 23 см. Ответ: 11,5 см.
11.122. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90° и 120°. Найти расстояние между центрами окружностей, лежащими по одну сторону от хорды, если длина хорды равна см. Ответ: 0,25 см.
11.123. Из точки К, лежащей на окружности, проведены касательная к окружности и хорда КА. Угол между ними равен 60°. Найти длину меньшей дуги, отсекаемой хордой КА, если радиус окружности равен см. Ответ: 2 см.
11.124. Из точки А, лежащей вне круга, проведены касательная к кругу и секущая. Найти, во сколько раз отрезок секущей, лежащей внутри круга, больше отрезка секущей, находящегося вне круга, если расстояние от точки А до точки касания в 3 раза больше, чем длина отрезка, лежащего вне круга. Ответ: в8 раз.
11.125. В окружности радиуса см из одного конца диаметра проведена касательная, а из другого – хорда, стягивающая дугу в 120°. Хорда продолжена до пересечения с касательной. Найти внешний отрезок секущей. Ответ: 1 см.
11.126. Длина окружности, в которую вписан правильный шестиугольник, равна см. Найти длину окружности, вписанной в этот шестиугольник. Ответ: 1,5 см.
11.127. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда ВС, угол АОС равен 60°. Найти угол АВС. Ответ: 30°.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|